Chủ đề phương trình đường thẳng ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

CHỦ ĐỀ 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

❖ Phương trình ttham số của đường thẳng  đi qua điểm ( ) ; ; o o o o M x y z và có vectơ chỉ phương

1 2 3 ( ; ; ) a a a a = , 0 a  có dạng là :

0 1

0 2

0 3

(t R)

x x a t

y y a t

z z a t

= +   = +   = + 

.

❖ Nếu 1 2 3 , , a a a đều khác không .Phương trình đường thẳng  viết dưới dạng chính tắc như sau:

0 0 0

1 2 3

x x y y z z a a a − − − = =

❖ Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

▪ Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

' ' 1 1

' ' 2 2

' ' 0 3 3

'

: ': '

'

o o

o o

o

x x a t x x a t

d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

= + = +    = + = +     = + = +  

có VTCP u đi qua o M và

'd có vtcp ' u đi qua ' o M

▪ ( ) ( )

' d d  [ , ']=0

M ' o

u u

d

  

( ) ( )

' d d  

0

[ , ']=0

M '

u u

d

  

▪ ( ) d cắt ( )

'd 

' 0

, ' 0

, ' . 0 o

u u

u u M M

      =   

( ) d chéo ( )

'd  ' 0 0 , ' . 0 u u M M     

❖ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

▪ Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm ( ) ; ; o o o M x y z và có vectơ chỉ phương

1 2 3 ( ; ; ) a a a a = và mặt phẳng ( ): 0 Ax By Cz D  + + + = có vecto pháp tuyến ( ; ; ) n A B C =

▪ ( ) d cắt ( )   . 0 a n 

▪ ( ) d // ( )   . 0 ( ) a n M 

 =   

▪ ( ) d nằm trên mặt phẳng ( )   . 0

( )

a n

M 

 =   

❖ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

▪ Khoảng cách từ ( ) ; ; o o o o M x y z đến mặt phẳng ( ): 0 Ax By Cz D  + + + = cho bởi công thức

0 0 0 0 2 2 2 Ax ( , ) By Cz D d M

A B C  + + + =

+ +

❖ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

▪ Khoảng cách từ đường thẳng d đi qua điểm o M có VTCP u đến điểm M cho bởi công

thức

0 [M , ] ( , )

M u d M

u =

LÍ THUYẾT

Hình học tọa độ Oxyz

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

❖ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

▪ Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua ( ) ; ; o o o M x y z ; có VTCP 1 2 3 ( ; ; ) a a a a =

và đường thẳng

'd đi qua ( ) ' ' ' ' ; ; o o o M x y z có VTCP ' ' ' ' 1 2 3 ( ; ; ) a a a a = . Khi đó khoảng cách giữa

hai đường thẳng này là :

[ , ']. ' ( , ')

[ , ']

hop

day

a a MM V d d d S a a = =

❖ Góc giữa hai đường thẳng:

▪ Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

() đi qua ( ) ; ; o o o M x y z có VTCP 1 2 3 ( ; ; ) a a a a =

(’) đi qua ( ) ' ' ' ' ; ; o o o M x y z có VTCP 1 2 3 ' ( ' ; ' ; ' ) a a a a =

▪ Khi đó góc giữa hai đường thẳng này được cho bởi công thức sau đây:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

. ' . ' . ' . ' os os( , ')

. ' . ' ' '

a a a a a a a a c c a a

a a a a a a a a  + + = = =

+ + + +

❖ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

▪ Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

() đi qua o M có VTCP 1 2 3 ( ; ; ) a a a a = , mặt phẳng ( )  có VTPT ( ; ; ) n A B C =

▪ Gọi  là góc hợp bởi () và mặt phẳng ( ) , khi đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

1 2 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3

Aa +Ba +Ca sin os( , )

A . c a n

B C a a a = =

+ + + +

▪ NOTE: Cho tam giác ABC

▪ Đường phân giác trong của góc BAC có vectơ chỉ phương là 1 1 u AB AC AB AC = +

.

.