Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi hình học không gian

A. Cơ sở của phương pháp vector.

1. Định nghĩa.

Các khái niện và các phép toán của vec tơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng. Ngoài ra ta cần nhớ thêm

Quy tắc hình hộp. Nếu . ' ' ' ' ABCD A B C D là hình hộp thì ' ' AC AB AD AA a b c = + + = + + .

2. Quy tắc trọng tâm tứ diện.

G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra

• 0 GA GB GC GD + + + =

• 4 , MA MB MC MD MG M + + + = 

3. Ba vector , , a b c đồng phẳng nếu giá của chúng song song với một mặt phẳng.

Điều kiện cần và đủ để ba vector , , a b c đồng phẳng là có các số , , m n p không đồng thời bằng 0 sao

cho 0 ma nb pc + + = .

Cho hai vectơ không cùng phương khi đó điều kiện cần và đủ để ba vec tơ , , a b c đồng phẳng là có các

số , m n sao cho c ma nb = + .

Nếu ba vector , , a b c không đồng phẳng thì mỗi vector d đều có thể phân tích một cách duy nhất dưới

dạng d ma nb pc = + + .

Chương 1 Phương pháp Vector

C'

C

B'

D'

A D

A'

B

c

b a

| Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học không gian

Tạp chí và tư liệu toán học | 2

B. Các bài toán ứng dụng vector.

Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức vec tơ. Phương pháp. Sử dụng qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp…để biến đổi vế này thành vế kia.

Sau đây là các bài toán minh họa.

Câu 1 Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng

2 2 2 2 SA SC SB SD + = +

Lời giải

O

B

D

A

C

S

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD

Ta có OA OB OC OD = = = .

( )

2 2 2 2 2 . SA SO OA SO OA SOOA = + = + + ( ) 1

( )

2 2 2 2 2 . SC SO OC SO OC SOOC = + = + + ( ) 2

Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra ( )

2 2 2 2 2 2 2 SA SC SO OA OC SO OA OC + = + + + +

2 2 2 2SO OA OC = + + ( vì 0 OA OC + = ).

Tương tự

2 2 2 2 2 2 SB SD SO OB OD + = + + .Từ đó suy ra

2 2 2 2 SA SC SB SD + = + .

Câu 2 Cho tứ diện ABCD , M và N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB và CD thỏa mãn điều kiện

2 , 2 MA MB ND NC = − = − ; các điểm , , I J K lần lượt thuộc , , AD MN BC sao cho

, , IA kID JM kJN KB kKC = = = .

Chứng minh với mọi điểm O ta có 1 2 3 3 OJ OI OK = + .

Lời giải

Phương pháp Vector |

3 | Chinh phục olympic toán

J

B D

C

A

M

N K

I

Vì 2 MA MB = − nên với điểm O bất kì ta có

( ) 2 OA OM OB OM − = − − 2 3 OA OB OM +  =

Tương tự ta có 2 3 OD OC ON + = , 1 OA kOD OI k − = − , 1 OB kOC OK k − = − , 1 OM kON OJ k − = − .

Từ đó ta có ( ) 1 1 . 2 2 1 3 OJ OA OB kOD kOC k = + − − −

( ) ( ) ( ) 1 1 1 . [ 1 2 1 ] 2 1 3 3 k OI k OK OI OK k = − + − = + −

Vậy 1 2 3 3 OJ OI OK = + .

Bài toán 2. Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng. Phương pháp.

Để chứng minh ba vec tơ , , a b c đồng phẳng ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau

• Chứng minh giá của ba vec tơ , , a b c cùng song song với một mặt phẳng.

• Phân tích c ma nb = + trong đó ,a b là hai vec tơ không cùng phương.

Để chứng minh bốn điểm , , , A B C D đồng phẳng ta có thể chứng minh ba vec tơ , , AB AC AD đồng

phẳng. Ngoài ra có thể sử dụng kết quả quen thuộc sau Điều kiện cần và đủ để điểm ( ) D ABC  là với mọi điểm O bất kì ta có

OD xOA yOB zOC = + + trong đó 1 x y z + + =

Tính chất trên gọi là tâm tỉ cự trong không gian.

Sau đây là các bài toán minh họa.

Câu 3 Cho tứ diện ABCD , các điểm , M N lần lượt là trung điểm của , AB CD . Gọi , P Q lần lượt là các điểm

thỏa mãn , PA kPD = ( ) 1 QB kQC k =  . Chứng minh , , , M N P Q đồng phẳng.

Lời giải