Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết - Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 1

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

SỐ PHỨC

Xét

Hai phần tử và bằng nhau .

:

Phép cộng :

Phép nhân:

Định nghĩa. Tập , cùng với phép cộng và phép nhân ở trên gọi là tập số phức . Phần tử gọi là

một số phức.

1. Định nghĩa số phức.

Giao hoán:

Kết hợp:

Tồn tại phần tử không:

Mọi số có số đối:

Phép trừ:

2. Tính chất phép cộng.

Giao hoán:

Kết hợp:

Tồn tại phần tử đơn vị:

Mọi số khác có số nghịch đảo :

Giả sử , để tìm . Ta có: . Giải hệ cho

ta

Vậy,

Phép chia: với

3. Tính chất phép nhân.

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 2

Số phức bất kì được biểu diễn duy nhất dạng , , trong đó

Hệ thức , được suy từ định nghĩa phép nhân: .

Biểu diễn gọi là dạng đại số của số phức . Do đó: .

: phần thực của , : phần ảo của . Đơn vị ảo là .

Tổng số phức: .

Hiệu số phức: .

Tích số phức: .

4. Định lý.

, , , …, bằng quy nạp ta được: , , , ,

Do đó:

5. Lũy thừa đơn vị ảo

Cho , số phức gọi là số phức liên hợp của

. Thật vậy, ( đpcm ).

là số thực không âm.

Thật vậy, ( đpcm ).

Thật vậy,

( đpcm ).

Thật vậy,

( đpcm ).

Thật vậy, tức là ( đpcm ).

Thật vậy, ( đpcm ).

,

Thật vậy, ,

Do đó , ( đpcm ).

6. Số phức liên hợp:

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 3

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1 Xác định phần thực và phần ảo của các số phức :

   z i 2 i 3 i    2. 3 4i z 4 i    1.

3.      2 1 i 1 i z 8 i 1 2i z     

Ví dụ 2 1. Tìm môđun của số phức z, biết rằng:   1 2i z 3 8i  

2. Tìm các số thực b, c để phương trình 2 z bz c 0    nhận số phức z 1 i   làm 1 nghiệm.

Ví dụ 3. Tìm số phức z thỏa mãn:       3 2 3 2 2 z z . z z 1 4i z zz z                   

Ví dụ 4.

1. Tìm phần ảo của số phức z , biết :    2 z 2 i 1 2i    .

2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3 1 i 3 z 1 i

         

.

Ví dụ 5.

Số gọi là môđun của số phức

8. Môđun của số phức

Mỗi số phức được biểu diễn một điểm hay véc tơ trên mặt phẳng phức.Ta viết:

hoặc .

9. Biểu diễn hình học của số phức

i. Gọi . Khi đó: đối xứng với qua ; đối xứng với qua .

ii. Gọi lần lượt là biểu diễn của hai số phức . Khi đó: là biểu diễn của .

iii. Cho .

Khi đó: là biểu diễn của và .

10. Tính chất

Phương pháp: Dạng 1: Các phép tính về số phức. Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức. Dạng 2: Số phức và thuộc tính của nó.

Tìm phần thực và phần ảo: , suy ra phần thực , phần ảo Biểu diễn hình học của số phức:

Dạng 1. Các phép tính về số phức và các bài toán định tính.

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 4

1. Tìm phần ảo của số phức z , biết  

2 z 3z 1 2i   

2. Tìm phần thực của số phức z , biết    

2 z 1 i z 1 2i    

Ví dụ 6. Tìm số phức z thỏa mãn:

1. z 3i 1 iz    và 9 z z  là số thuần ảo. 2. z z 2 2i    và z 2i z 2 

 là số ảo.

Ví dụ 7. Tìm số phức z thỏa mãn: z 1 1 z i    và z 3i 1 z i   

Ví dụ 8.1.7 Cho số phức z x yi; x,y    thỏa mãn 3 z 18 26i   . Tính     2012 2012 T z 2 4 z    

1i. Bài tập tự luận tự luyện Bài 1.

1. Cho 2 số phức 1 2 z , z thỏa mãn 1 2 z z 1  , 1 2 z z 3   . Tính 1 2 z z 

2. x,y sao cho : Tìm các số thực

a. z z'  , biết rằng:    z 2x 3 3y 1 i     ,    z' 2y 1 3x 7 i     .

b.       3 x 2y 4 i 3x y x 2i 47 20i        .

c. x yi 1 3 i 2 2 3 yi

   

.

d.

 

3 3 xyi

1 2i





và

 

3 x y 2i

1 2i

 



là ( phức ) liên hợp.

3. 0 0 z cos18 cos72 i   . Tính z . Cho

4. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức :

    

33

10 1 i 1 z 1 i 2 3i 2 3i 1 i i              

5. Thực hiện các phép tính :

    9 10 A 1 i 1 i    

5 6 7 18 M i i i ... i     

 

21 8 13

13 1 1 i B 1 i i 1 i i

              

       2 3 2010 N 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i    …