Ứng dụng của đạo hàm và khảo sát đồ thị hàm số - Trần Thông

TRẦN THÔNG Facebook: hội toán bắc trung nam

MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ

KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Quảng Nam, tháng 11 năm 2016

1

TRẦN THÔNG Facebook: hội toán bắc trung nam

Mở đầu Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, đóng vai trò quan trọng trong chương trình toán phổ thông và là nền tảng của nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học nói riêng và khoa học tự nhiên nói chung. Để bạn đọc có được cái nhìn tổng quát hơn về hàm số, trong bài viết tháng 11/2016 của hội toán bắc trung nam tôi xin trình bày một số vấn đề cơ bản về hàm số.

Bài viết được chia làm ba phần chính: Phần 1: Giới thiệu một số khái niệm cơ bản như tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận… Phần 2: Trình bày sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số quen thuộc. Phần 3: Khái quát một số dạng toán quen thuộc về hàm số và các ứng dụng. Lưu ý bạn đọc: Trước khi đọc hiểu bài viết này, bạn đọc cần nắm vững định nghĩa, các tính chất cơ bản của đạo hàm cùng với bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp được trình bày chi tiết trong chương trình toán THPT hiện hành. Với hệ thống bài tập tự luận và trắc nghiệm phong phú, hi vọng bài viết này sẽ giúp ích cho bạn đọc, đặc biệt là các bạn thí sinh trong kỳ thi THPT quốc gia sắp tới khi tìm hiểu về hàm số. Tuy vậy do nhiều nguyên nhân khác nhau, bài viết không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý độc giả đề chuyên đề ngày một hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp, quý độc giả vui lòng gửi về địa chỉ email: thongqna@gmail.com hoặc trang cá nhân facebook: https://www.facebook.com/thong.tranvan.5203.

Quảng Nam, ngày 15 tháng 11 năm 2016 TRẦN THÔNG

2

TRẦN THÔNG Facebook: hội toán bắc trung nam

PHẦN 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.Tính đơn điệu của hàm số.

a.Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x  xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.

1.Hàm số ( ) y f x  được gọi là đồng biến trên D nếu 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x D x x f x f x     

2.Hàm số ( ) y f x  được gọi là nghịch biến trên D nếu 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x D x x f x f x     

b.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên khoảng D

1.Nếu hàm số ( ) y f x  đồng biến trên D thì '( ) 0, f x x D  

2.Nếu hàm số ( ) y f x  nghịch biến trên D thì '( ) 0, f x x D  

c.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

1.Định lý 1. Nếu hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn   ,a b và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì

tồn tại ít nhất một điểm ( , ) c a b  sao cho: ( ) ( ) '( )( ) f b f a f c b a   

2.Định lý 2. Giả sử hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên khoảng D

1.Nếu '( ) 0, f x x D   và '( ) 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số đồng biến trên D

2.Nếu '( ) 0, f x x D   và '( ) 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến trên D

3.Nếu '( ) 0, f x x D   thì hàm số không đổi trên D

2.Cực trị

a.Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x  xác định trên R D  và 0x D 

1. 0x được gọi là một điểm cực đại của hàm số ( ) y f x  nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm 0x

sao cho ( , ) a b D  và  0 0 ( ) ( ), ( , ) \ f x f x x a b x   . Khi đó 0 ( ) f x được gọi là già trị cực đại của

hàm số và 0 0 ( ; ( )) M x f x được gọi là điểm cực đại của hàm số .

3