Các chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Nguyễn Văn Lực

PHẦN 1. ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1.1. Sự đồng biến – nghịch biến của hàm số

Câu 1. Cho hàm số 2 3 2 1 ( ) 2 3 1 3 y m m x mx x     . Tìm m để hàm số luôn đồng biến

trên . Tập xác định: D 

Đạo hàm: 2 2 ' ( ) 4 3 y m m x mx    

Hàm số luôn đồng biến trên  ' 0 y  x 

Trường hợp 1: Xét 2 0 0 1 m m m m       

+ Với 0 m , ta có ' 3 0, y x    , suy ra 0 m  thỏa.

+ Với 1 m , ta có 3 ' 4 3 0 4 y x x      , suy ra 1 m  không thỏa.

Trường hợp 2: Xét 2 0 0 1 m m m m       

, khi đó:

' 0 y  x  

2

2 ' 3 0

0

m m

m m

      

 3 0 0 1 m m m        

 3 0 m  

Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3 0 m   .

Câu 2. Cho hàm số 3 2 2 3 3( 1) 2 3 y x mx m x m      . Tìm m để hàm số nghịch biến

trên khoảng   1;2 .

Tập xác định: D 

Đạo hàm: 2 2 ' 3 6 3( 1) y x mx m    

Hàm số nghịch biến trên khoảng   1;2  ' 0 y    1;2 x 

Ta có 2 2 ' 9 9( 1) 9 0, m m m      

Suy ra ' y luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 1; 1 x m x m     1 2 ( ) x x 

Do đó: ' 0 y    1;2 x   1 2 1 2 x x   

1

2

1

2

x

x

    

 1 1 1 2 m m     

 1 2 m  

Vậy giá trị m cần tìm là 1 2 m   .

Câu 3. Xác định m để hàm số sau đồng biến trong khoảng (0; +∞):

2 1 x m y x   

+ TXĐ: D = R

+ y’ =

2 2 1

( 1) 1

mx

x x

 

  Hàm số ĐB trong (0; +∞) <=> y’ ≥ 0 mọi x (0; +∞). <=> -mx + 1 ≥ 0 mọi x (0; +∞). (1) . m = 0 (1) đúng . m > 0 : -mx + 1 ≥ 0 <=> x ≤ 1/m. Vậy (1) không thỏa mãn. . m < 0: -mx + 1 ≥ 0 <=> x ≥ 1/m. Khi đó (1) <=> 1/m ≤ 0 t/m. Giá trịcần tìm là: m ≤ 0.

Câu 4. Cho hàm số 3 2 3 2 y x x mx    . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng   0;.

Tập xác định: D 

Đạo hàm: 2 ' 3 6 y x x m   

Hàm số đồng biến trên khoảng   0;  ' 0 y  ,   0; x   (có dấu bằng)

 2 3 6 0 x x m    ,   0; x  

 2 3 6 x x m   ,   0; x   (*)

Xét hàm số 2 ( ) 3 6 f x x x,   0; x  , ta có:

'( ) 6 6 f x x ; '( ) 0 1 f x x

Bảng biến thiên:

x 0 1

'( ) f x 0

( ) f x 0

3

Từ BBT ta suy ra: (*) 3 m

Vậy giá trị m cần tìm là 3 m .

Câu 5. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến: 3 2 (3 ) 2 12 y x m x mx      .

+ Tập xác định: D  .

+ Đạo hàm: 2 ' 3 2(3 ) 2 y x m x m    

+ Để hàm số luôn nghịch biến thì ' 0 y  x 

2

2

3 0 0 ' 0 9 6 ( 3)( 2 ) 0

12 9 0

6 3 3 6 3 3.

a

m m m

m m

m

                   

    

Câu 6. Cho hàm số 7 8 mx m y x m     . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác

định của nó. Tập xác định:  \ D m 

Đạo hàm:

 

2

2 7 8 ' m m y x m

    

. Dấu của ' y là dấu của biểu thức 2 7 8 m m   .

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ' 0 y  , x D  (không có dấu bằng)

2 7 8 0 m m    

8 1 m

Vậy giá trị m cần tìm là 8 1 m .

Câu 7. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến x : 3 2 3 3 1 y mx x x    .

+ Tập xác định: D 

+ Đạo hàm: 2 ' 3 6 3 y mx x   

+ Để hàm số luôn nghịch biến x  thì ' 0 y  x 

2 3 6 3 0 mx x     x   1

+ 1 : TH 0 m 

(1) 6 3 0 x   

6 3 x  