Hướng dẫn giải một số bài toán ứng dụng thực tiễn - Trần Hoàng Long

GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ (0907.822.142)

Chuyên đề Toán ứng dụng – Website: https://toanmath.com/ Trang 1

MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Việc vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn là

một vấn đề quan trọng trong dạy và học toán ở trường phổ thông. Điều này đó

được thể hiện từ trong đề thi THPT quốc gia năm học 2014-2015, 2015 – 2016

và gần đây là đề thi minh họa của Bộ Giáo dục.

Trong chương trình sách giáo khoa Toán hiện hành, nhất là trong chương

trình Đại số và Giải tích , có nhiều chủ đề kiến thức có nhiều lợi thế trong việc

lồng ghép những bài toán mang tính thực tế cao, chẳng hạn: Hệ bất phương

trình bậc nhất hai ẩn, Phương trình bậc hai, Bất phương trình bậc hai (Lớp 10),

Giải tích tổ hợp, Xác suất, Cấp số cộng, Cấp số nhân (lớp 11) , Đạo hàm (Lớp

12), ... Những chủ đề có vai trò rất quan trọng trong việc rèn luyện cho học

sinh kỹ năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn . Tuy nhiên, vì nhiều

lý do ít được sự quan tâm, chú ý khai thác của người dạy và người học toán.

Trong chuyên đề này, tôi cố gắng làm những công việc sau đây:

- Phân loại các bài tập theo từng chủ đề kiến thức;

- Cố gắng sưu tầm càng nhiều càng tốt các t́nh huống thực tiễn từ đó nêu

lên bài toán cần phải giải quyết, vận dụng kiến thức toán đă học để giải quyết

vấn đề;

- Xây dựng hệ thống các bài tập theo từng chủ đề kiến thức.

Mặc dù đă rất cố gắng nhưng do khả năng hạn chế nên chuyên đề này

chắc chắn sẽ còn nhiều hạn chế, kính mong quí thầy, cô đóng góp ý kiến để tài

liệu này tốt hơn ở tương lai.

GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ (0907.822.142)

Chuyên đề Toán ứng dụng – Website: https://toanmath.com/ Trang 2

1. Chủ đề đạo hàm

Đây là công cụ hữu hiệu trong việc tìm cực trị; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất của hàm số. Thông qua việc dạy học kiến thức này, ta có thể cho học sinh

giải những bài toán thực tiễn khá hấp dẫn và mang nhiều ý nghĩa.

Ví dụ 1: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so

với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác

định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó?

Lời giải :

Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn

nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi tgBOC lớn nhất.

Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB)

= tgAOB . tgAOC 1 tgAOB tgAOC   =

2 OA AB . AC 1

OA AB OA AC



 =

2 x 8,1.2,3 1

x 4,1

 = 76 ,5 x x 4,1

2  .

Xét hàm số f(x) = 76 ,5 x x 4,1

2 

Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có f'(x) = 2 2

2

) 76 ,5 x ( 76 ,5.4,1 x 4,1    , f'(x) = 0  x = 2,4

Ta có bảng biến thiên

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.

+ 0

f(x)

f'(x) x 2,4 + _

193 84

0 0

0

O A

C

B

1,4

1,8

GV: Trần Hoàng Long – Trường THPT Vĩnh Thạnh – TP Cần Thơ (0907.822.142)

Chuyên đề Toán ứng dụng – Website: https://toanmath.com/ Trang 3

Ví dụ 2: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có

tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định

kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là

lớn nhất?

Ta có lời giải bài toán như sau:

Gọi x, y là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ như Hình vẽ. Gọi d là đường

kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là

2 d

và 0 < x < 4 ) 2 2 ( d  , 0 < y <

2 d .

Theo bài ra ta được hình chữ nhật ABCD

như hình vẽ, theo Định lý Pitago ta có

2 2

2 d y 2 d x 2           x 2 4 x 8 d 2 1 y 2 2   

Suy ra

2 2 x 8 dx 2 4 d x 2 1 ) x ( S S     với 0 < x < 4 ) 2 2 ( d  , S là

diện tích một miếng phụ. Ứng dụng Đạo hàm ta có S lớn nhất khi và chỉ khi

x = 16 2 3 34  .

Ví dụ 3. Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần.

Trong đó phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn

đồng/giờ. Phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v =

10km/h thì phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc …