Tổng hợp Toán vận dụng cao có lời giải chi tiết - Đoàn Trí Dũng

Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389

LUYỆN THI TOÁN TRẮC NGHIỆM THPT QUỐC GIA 2018 Trang 1/51

TỔNG HỢP TOÁN VẬN DỤNG CAO

Câu 1: Cho 3 số phức 1 2 3 ; ; z z z thỏa

1 2 3

1 2 3

0

2 2 3

z z z

z z z

        

. Tính

2 2 2 1 2 2 3 3 1 A z z z z z z      

A. 2 2 3 B. 2 2 C. 8 3 D. 8 3 3

Lời giải: Ta có:

1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 3

2 3 1

8 3

z z z

z z z A z z z

z z z

               

. Chọn C.

Câu 2: Cho một cấp số cộng   nu có 1 1 u  và tổng của 100 số hạng đầu tiên 24850 . Tính giá trị của

biểu thức

1 2 2 3 48 49 49 50

1 1 1 1 ... S u u u u u u u u      ?

A. 123 S  B. 4 23 S  C. 9 246 S  D. 49 246 S 

Lời giải: Ta có: 100 1 100 50 497 496 1 99 5 246 u u u d d u          .

Lại có: 3 2 49 48 50 49 2 1

1 2 2 3 48 49 49 50 1 50

1 1 1 49 5 ... 1 246 246 u u u u u u u u S S u u u u u u u u u u               .

Câu 3: Cho số phức 2017 1 1 z   . Gọi P z  . Tính     2017. max 2017. min A P P   .

A. 2016 2017. 2 A  B. 2017 2017. 3 A  C. 2017 2017. 2 A  D. 2017 A 

Lời giải: Ta có :

2017 2017 2017 max max 0 max max max P z P z z      .

Mặt khác ta cũng có:

2017 2017 2017 min 0 min min min P z P z z      .

Gọi   2017 , z a bi a b    Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2017 z là đường tròn tâm   0;1 I có bán

kính 1 R 

2017 2017 2017 2017 max 2 max 2017. 2 2017. 2 min 0 min 0

P P A P P

                  . Chọn C.

Câu 4: Xét số phức z thỏa 2 1 3 2 2 z z i    . Mệnh đề nào dưới đây đúng:

A. 3 2 2 z   B. 2 z  C. 1 2 z  D. 1 3 2 2 z  

Lời giải: Ta xét các điểm     1;0 , 0;1 A B và   ; M x y với M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt

phẳng phức. Ta có :     2 2 2 2 2 1 3 2 1 3 1 2 3 z z i x y x y MA MB           .

Ta có :   2 3 2 2 2 2 2 2 MA MB MA MB MB AB MB MB          .

2 1 3 2 2 z z i     . Mà theo giả thuyết ta có : 2 1 3 2 2 z z i    .

Vậy 2 1 3 2 2 z z i    . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi   0;1 1 0

M AB M B M z MB

         

Câu 5: Gọi 1 2 3 4 , , , z z z z là nghiệm của phương trình

4 1 1 2 z z i         . Tính giá trị của biểu thức:

Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389

LUYỆN THI TOÁN TRẮC NGHIỆM THPT QUỐC GIA 2018 Trang 2/51

     2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 1 1 P z z z z      .

A. 1. B. 19. 7 C. 17 . 9 D. 2.

Lời giải: Ta có:             4 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 z z i z z i z z i                 

         

    

2 2

2

1 2 1 2 1 2 0

3 1 1 5 2 4 0

z z i z z i z z i

z i z i z i z

                             

1 2 3 4 1 2 4 17 ; 1 ; 0; 3 5 9 i i z z i z z P          . Chọn C.

Câu 6: Cho  

2 2 * 1 1 f n n n n      và đặt        

1 3 ... 2 1 2 4 ... 2 n f f f n u f f f n   . Tìm số nguyên dương

n nhỏ nhất sao cho 2 10239 log 1024 n n u u   ?

A. 23 n  B. 29 n  C. 33 n  D. 21 n 

Lời giải: Ta có:       

2 2 2 2 * 1 1 1 1 1 f n n n n n n        .

Đến đây ta dễ dàng có:            

           

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 3 1 4 1 ... 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 ... 2 1 2 1 1 n n n u n n n n

                  .

Ta có: 2 2 10239 1 1 1 log log 23 1024 1024 1024 1024 n n n u u u n         . Chọn A.

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện    2 2 5 1 2 3 1 z z z i z i       . Tìm giá trị nhỏ nhất

của module 2 2 z i  .

A. 1. B. 5. C. 5 . 2 D. 3. 2

Lời giải: Ta có :    2 2 5 1 2 3 1 z z z i z i      

     

 

   

1 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1

z i z i z i z i z i z i z i

                 .

Trường hợp 1:   1 2 0 1 2 2 2 1 z i z i z i         .

Trường hợp 2:     1 1 2 3 1 2 z i z i b       với   , z a bi a b    .

   

2 1 3 9 3 2 2 2 2 2 2 …