Tóm tắt lí thuyết và công thức giải nhanh Toán 12 - Trần Quốc Nghĩa

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12

Gv. Tr Gv. Tr Gv. Tr Gv. Trần Quốc Nghĩa ần Quốc Nghĩa ần Quốc Nghĩa ần Quốc Nghĩa (S (S (S (Sưu t ưu t ưu t ưu tầm & bi ầm & bi ầm & bi ầm & biên t ên t ên t ên tập) ập) ập) ập) – ĐT: 098 373 4349 ĐT: 098 373 4349 ĐT: 098 373 4349 ĐT: 098 373 4349 Trang Trang Trang Trang 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số ( ) = y f x

xác định trên K ta có:

• Hàm số ( ) = y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: ( ) ( ) ∀ ∈ < ⇒ < 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x .

• Hàm số ( ) = y f x

được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: ( ) ( ) ∀ ∈ < ⇒ > 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x .

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K . Nhận xét:

• Hàm số ( ) f x đồng biến trên K ( ) ( ) − ⇔ > ∀ ∈ ≠ −

2 1

1 2 1 2 2 1

0 , , . f x f x

x x K x x x x

Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

• Hàm số ( ) f x nghịch biến trên K ( ) ( ) − ⇔ < ∀ ∈ ≠ −

2 1

1 2 1 2 2 1

0 , , . f x f x

x x K x x x x

Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

• Nếu ( ) ( ) ′ > ∀∈ ⇒ 0, ; f x x a b hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng ( ) ; . a b

• Nếu ( ) ( ) ′ < ∀∈ ⇒ 0, ; f x x a b hàm số ( ) f x nghịch biến trên khoảng ( ) ; . a b

• Nếu ( ) ( ) ′ = ∀∈ 0, ; f x x a b ⇒ hàm số ( ) f x không đổi trên khoảng ( ) ; . a b • Nếu ( ) f x đồng biến trên khoảng ( ) ( ) ( ) ′ ⇒ ≥ ∀∈ ; 0, ; . a b f x x a b

• Nếu ( ) f x nghịch biến trên khoảng ( ) ( ) ( ) ′ ⇒ ≤ ∀∈ ; 0, ; . a b f x x a b

• Nếu thay đổi khoảng ( ) ;a b bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm

số ( ) f x liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho ( ) = ; u u x ( ) = v v x ; C là hằng số.

• Tổng, hiệu: ( )′ ′ ′ ± = ± . u v u v

• Tích: ( )′ ′ ′ = + . . . u v u v v u ( )′ ′ ⇒ = . . C u C u .

• Thương: ( )

′ ′ ′ ′     − = ≠ ⇒ = −         2 2 . . . , 0 u u v v u C C u v v u v u

• Đạo hàm hàm hợp: Nếu ( ) ( ) ′ ′ ′ = = ⇒ = , . x u x y f u u u x y y u .

3. Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức

• + = + ax b y cx d ( )

′   + − ′ ⇒ = =   +   +

2 . ax b ad bc y cx d cx d

• + + = ′ ′ ′ + +

2

2 ax bx c y

a x b x c ( )

+ + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′   + + ′ ⇒ = =   ′ ′ ′ + +   + +

2

2

2 2 2

2 a b a c b c x x a b a c b c ax bx c y a x b x c dx ex f (anh bạn-ăn cháo-bỏ cơm)

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12

Gv. Tr Gv. Tr Gv. Tr Gv. Trần Quốc Nghĩa ần Quốc Nghĩa ần Quốc Nghĩa ần Quốc Nghĩa (S (S (S (Sưu t ưu t ưu t ưu tầm & bi ầm & bi ầm & bi ầm & biên t ên t ên t ên tập) ập) ập) ập) – ĐT: 098 373 4349 ĐT: 098 373 4349 ĐT: 098 373 4349 ĐT: 098 373 4349 Trang Trang Trang Trang 2

4. Bảng công thức tính đạo hàm

Hàm sơ cấp Hàm hợp

( )′ = 0 C (C : hằng số). ( ) α α α − ′ = 1 . x x ( )′ = 2 1 tan

cos x

x

( )

′ ′ = 2 tan

cos

u u

u

( ) α α α − ′ = 1 . x x ( ) α α α − ′ ′ = 1 . . u u u

( )′ = − 2 1 cot

sin x

x

( )

′ ′ = − 2 cot

sin

u u

u

′  =− ≠     2 1 1 ( 0) x x x ( ) ′ ′  =− ≠     2 1 0 u u u u

( )′ = e e x x ( )′ ′ = u e e. u u

( ) ( ) ′ = > 1 0 2 x x x ( ) ( ) ′ ′ = > 0 2

u u u u

( )′ = .ln x x a a a ( )′ ′ = . .ln u u a u a a

( )′ = sin cos x x ( )′ ′ = sin .cos u u u ( )′ = 1 ln x x ( )

′ ′ = ln u u u ( )′ = − cos sin x x ( )′ ′ = − cos .sin u u u ( )′ = 1 log ln a x x a ( )

′ ′ = log .ln a

u u u a

( ) − ′ = 1 sin .sin n n x n x ( ) ( ) − ′ ′ = 1 sin .sin . sin n n u n u u

( ) − ′ = 1 cos .cos n n x n x ( ) ( ) − ′ ′ = 1 cos .cos . cos n n u n u u

( ) − ′ = 1 tan .tan n n x n x ( ) ( ) − ′ ′ = 1 tan .tan . tan n n u n u u

( )

− ′ = 1 cot .cot n n x n ( ) ( ) − ′ ′ = 1 cot .cot . cot n n u n u u

5. Đạo hàm cấp 2

a. Định nghĩa: ( ) ( …