Sổ tay Toán học lớp 12 - Nguyễn Chín Em

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐHỒCHÍ MINH

TRƯỜNG THCS – THPT HOA SEN

SỔTAY TOÁN HỌC-12

Họvà tên: ................................. Lớp: .................................

LƯU HÀNH NỘI BỘ

1 | Sổtay toán học-12

SỔTAY TOÁN HỌC-LỚP 12

Đạo hàm

(xn)′ = n.xn−1 1 (un)′ = n.u′.un−1 2

(√x)′ = 1 2√x 3 (√u)′ = u′

2√u 4

Å1

x

ã′ = −1

x2 5

Å1

u

ã′ = −u′

u2 6

(sin x)′ = cos x 7 (sin u)′ = u′. cos x 8

(cos x)′ = −sin x 9 (cos u)′ = −u′. sin x 10

(tan x)′ = 1 cos2 x 11 (tan u)′ = u′

cos2 u 12

(cot x)′ = − 1 sin2 x 13 (cot u)′ = − u′

sin2 u 14

(ex)′ = ex 15 (eu)′ = u′.eu 16

(ax)′ = ax ln a 17 (au)′ = u′.au ln a 18

(ln x)′ = 1

x 19 (ln u)′ = u′

u 20

(loga x)′ = 1 x ln a 21 (loga u)′ = u′

u ln a 22

Quy tắc tính đạo hàm

(u ± v)′ = u′ ± v′ 1 (k.u)′ = k.u′ 2

(u.v)′ = u′.v + u.v′ 3

u

v

′ = u′.v −u.v′

v2 4

Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số

Giảsửhàm sốy = f(x) có đạo hàm trên K

• Nếu f ′(x) ≥0, ∀x ∈K và f ′(x) chỉtại hữu hạn điểm x ∈K thì

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 1

2 | Sổtay toán học-12

hàm sốy = f(x) đồng biến trên K

• Nếu f ′(x) ≤0, ∀x ∈K và f ′(x) chỉtại hữu hạn điểm x ∈K thì

hàm sốy = f(x) nghịch biến trên K

Qui tắc xét tính đơn điệu hàm sốy = f(x)

Bước 1: Tìm tập xác định D

Bước 2: Tính đạo hàm f ′(x) và tìm nghiệm f ′(x) = 0, (x1.x2... ∈D)

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Từbảng biến thiên và kết luận tính đơn điệu hàm sốy = f(x)

Cực trịhàm số

Hàm sốy = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trịtại x0 thì f ′(x0) = 0

Qúy tắc 1

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f ′(x)

• Bước 2: Tìm các điểm xi(i = 1; 2; ...) mà tại đó đạo hàm bằng 0

hoặc hàm sốliên tục nhưng không có đạo hàm.

• Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f ′(x). Nếu f ′(x)

đổi dấu khi đi qua xi thì hàm sốđạt cực trịtại xi.

Qúy tắc 2

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f ′(x)

• Bước 2: Tìm nghiệm xi(i = 1; 2; ...) của phương trình f ′(x) = 0

• Bước 3: Tính f ′′(x) và tình f ′′(xi)

+ Nếu f ′′(xi) < 0 thì hàm sốf(x) đạt cực đại tại xi.

+ Nếu f ′′(xi) > 0 thì hàm sốf(x) đạt cực tiểu tại xi.

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 2

3 | Sổtay toán học-12

Hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d

y′; ∆ a > 0 a < 0

y′ = 0; ∆y′ > 0

(có 2 nghiệm)

x

y

O

x

y O

y′ = 0, ∆y′ = 0

(có nghiệm kép) x

y

O

x

y

O

y′ = 0; ∆y′ < 0

(vô nghiệm)

x

y

O

x

y

O

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 3

4 | Sổtay toán học-12

Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c

y′; a; b a > 0 a < 0

y′ = 0; a.b < 0

(có 3 cực trị) x

y

O x

y O

y′ = 0; a.b ≥0

(có 1 cực trị) x

y

O

x

y

O

Hàm sốhữu tỉy = ax + b

cx + d

y′ = ad −bc

(cx + d)2 > 0 y′ = ad −bc

(cx + d)2 < 0

x

y

O

TCĐ: x = −d

c

TCN: y = a

c

x

y

O TCN: y = a

c

TCĐ: x = −d

c

Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc 3

1 Hàm sốy = ax3 + bx2 + cx + d, đồng biến trên R.

y′ ≥0, ∀x ∈R ⇔

 



a > 0

∆y′ ≤0 ⇔

 



a > 0

b2 −3a.c ≤0

2 Hàm sốy = ax3 + bx2 + cx + d, nghịch biến trên R.

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 4

5 | Sổtay toán học-12

y′ ≥0, ∀x ∈R ⇔

 



a < 0

∆y′ ≤0 ⇔

 



a > 0

b2 −3a.c ≤0

Điều kiện cực trịhàm bậc 3-trùng phương

1 Hàm sốy = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực đại tại x0

⇔

 



y′(x0) = 0

y′′(x0) < 0

2 Hàm sốy = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực tiểu tại x0

⇔

 



y′(x0) = 0

y′′(x0) > 0

3 Hàm sốy = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị⇔a.b < 0

4 Hàm sốy = ax4 + bx2 + c

có 1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔

 



a > 0

b < 0

5 Hàm sốy = ax4 + bx2 + c

có 2 cực đại, 1 cực tiểu ⇔

 



a < 0

b > 0

6 Hàm sốy = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị.  



a = 0

b ̸= 0 hoặc

 



a ̸= 0

a.b ≥0

7 Hàm sốy = ax4 + bx2 + c có 1 cực tiểu.  



a = 0

b > 0 hoặc

 



a > 0

a.b ≥0

8 Hàm sốy = ax4 + bx2 + c có 1 cực đại.

ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 5