Vở bài tập môn Toán 12

ÔN TẬP

Trang 1

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

ሺu + vሻ′ = u′ + v′ ሺu −vሻ′ = u′ −v′

ሺu. vሻ′ = u′. v + u. v′ ሺk. uሻ′ = k. u′ ሺk là hằng sốሻ

ቀu

vቁ

′

= u′v −u. v′

v2 ሺv = vሺxሻ≠0ሻ ൬1

v൰

′

= −v′

v2 ሺv = vሺxሻ≠0ሻ

CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp (𝐮= 𝐮(𝐱))

(C)′ = 0

x′ = 1

ሺxαሻ′ = α. xα−1, ሺα ∈ℝ, x > 0ሻ ሺuαሻ′ = α. uα−1. u′, ሺα ∈ℝ, u > 0ሻ

൫ξx൯

′ = 1

2ξx ሺx > 0ሻ ൫ξu൯

′ = u′

2ξu ሺu > 0ሻ

൬1

x൰

′

= −1

x2 ሺx ≠0ሻ ൬1

u൰

′

= −u′

u2 ሺu ≠0ሻ

൬1

xn൰

′

= − n xn+1 ሺx ≠0ሻ

ȁxȁ′ = x

ȁxȁ

൬1

un൰

′

= −n. u′

un+1 ሺx ≠0ሻ

ȁuȁ′ = u′. u

ȁuȁ

ሺsin xሻ′ = cos x ሺsin uሻ′ = u′. cos u .

(cos x)′ = −sin x (cos u)′ = −u′. sin u

ሺtan xሻ′ = 1 cos2 x = 1 + tan2 x

ቀx ≠π

2 + kπ, k ∈ℤ ቁ

ሺtan uሻ′ = u′ cos2 u = u′. ሺ1 + tan2 uሻ

ቀu ≠π

2 + kπ, k ∈ℤ ቁ

ሺcot xሻ′ = − 1 sin2 x = −ሺ1 + cot2 xሻ

ሺx ≠kπ, k ∈ℤ ሻ

ሺcot uሻ′ = − u′ sin2 u = −u′. ሺ1 + cot2 uሻ

ሺu ≠kπ, k ∈ℤ ሻ

ሺaxሻ′ = ax ln a ሺauሻ′ = u′. au ln a

ሺexሻ′ = ex ሺeuሻ′ = u′. eu

ሺloga xሻ′ = 1 x ln a ሺx > 0ሻ ሺloga uሻ′ = u′

u. ln a ሺu > 0ሻ

ሺln xሻ′ = 1

x ሺx > 0ሻ ሺln uሻ′ = u′

u ሺu > 0ሻ

ÔN TẬP

ÔN TẬP

Trang 2

ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC

൬ax + b

cx + d൰

/

= ad −bc

ሺcx + dሻ2 ቆax2 + bx + c

dx + e ቇ

/

= adx2 + 2aex + be −dc

ሺdx + eሻ2

ቆax2 + bx + c

dx2 + ex + fቇ

/

= ሺae −bdሻx2 + 2ሺaf −dcሻx + bf −ec

ሺdx2 + ex + fሻ2

ÔN TẬP

Bài tập tự luyện

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. y = x3 −3x2 + 4x b. y =

1

2 x4 −ξx c. y = ሺx2 −3xሻ2

d. y = ξx2 −2x + 5 e. y = ሺx + 1ሻξx f. y =

2x−1

x+2

g. y =

x2+x

x−3 h. y = ȁx −x2ȁ i. y = x2 −cos 2 x

j. y = x sin x k. y =

sin 2x

x+1 l. y = cos൫ξx2 −x൯

Câu 1

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1

Trang 3

Chương

1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số fሺxሻ xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K.

Hàm số nghịch biến Hàm số đồng biến

Định lí thuận

Nếu f ′ሺxሻ< 0, ∀x ∈K thì hàm số nghịch biến

trên khoảng K.

Định lí đảo

Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì

f ′ሺxሻ≤0, ∀x ∈K.

Định lí thuận “mở rộng”

f ′ሺxሻ≤0, ∀x ∈K và dấu bằng tại hữu hạn

điểm trên K thì hàm số nghịch biến trên K.

Định lí thuận

Nếu f ′ሺxሻ> 0, ∀x ∈K thì hàm số đồng biến

trên khoảng K.

Định lí đảo

Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì

f ′ሺxሻ≥0, ∀x ∈K.

Định lí thuận “mở rộng”

f ′ሺxሻ≥0, ∀x ∈K và dấu bằng tại hữu hạn

điểm trên K thì hàm số đồng biến trên K.

Đồ thị

Đồ thị hàm số

là đường đi

xuống từ trái

sang phải

Đồ thị

Đồ thị hàm số

là đường đi

lên từ trái

sang phải

Định nghĩa

Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu

x1 < x2 ⇒fሺx1ሻ> fሺx2ሻ

Định nghĩa

Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu

∀x1 < x2 ⇒fሺx1ሻ< fሺx2ሻ

TRỌNG TÂM

BÀI 1 – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trang 4

Dạng 1. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số khi biết một số tính chất

Cho hàm số y = fሺxሻ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Nhận xét về tính đơn điệu của hàm số đã cho.

Ví dụ 1.1

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ có đồ thị y = f ′ሺxሻ như hình bên. Nhận xét về tính đơn điệu của hàm số đã cho.

Ví dụ 1.2