Bất phương trình lôgarit chứa tham số

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐ

Bài toán. Tìm m để bất phương trình f x m  ( , ) 0 hoặc f x m  ( , ) 0 có nghiệm trên D ?

PHƯƠNG PHÁP Bước 1. Tách tham số m ra khỏi x và đưa BPT về dạng ( ) ( ) A m f x  hoặc ( ) ( ) A m f x  .

Bước 2. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m

để bất phương trình có nghiệm. Lưu ý: Cho hàm số  y f x  xác định và liên tục trên D .

Trong trường hợp tồn tại max ( ) x f x D và min ( ) x f x D thì ta có:

 Bất phương trình ( ) ( ) A m f x  có nghiệm trên ( ) max ( ) x A m f x   

D D .

 Bất phương trình ( ) ( ) A m f x  có nghiệm trên ( ) min ( ) x A m f x   

D D .

 Bất phương trình ( ) ( ) A m f x  nghiệm đúng ( ) min ( ) x x A m f x    

D D .

 Bất phương trình ( ) ( ) A m f x  nghiệm đúng ( ) max ( ) x x A m f x    

D D .

Nếu   2 ( ) 0 f x ax bx c a     thì

0 ( ) 0, 0

a f x x        .

0 ( ) 0, 0 a f x x        .

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

2 2 2 2 log (7 7) log ( 4 ) x mx x m     nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x ?

A. 7 . B. 3. C. Vô số. D. 4 . Lời giải Chọn B

Yêu cầu bài toán được thỏa mãn 

2

2 2 4 0,

7 7 4 ,

mx x m x

x mx x m x

           





  

    

2

2 4 0,

7 4 7 0,

f x mx x m x

g x m x x m x

                





.

Ta thấy 0 m  ; 7 m  không thỏa mãn điều kiện đề bài. Với 0 m  và 7 m  . Khi đó ta có:

   2 0

4 0

m

m

      



0

2 2

m

m m

     

    

 2 m  . (1)

   

 

2 7 0

4 7 0

m

m

       

 2

7

14 45 0

m

m m

      



7

5 9

m

m m

     

    

 5 m  . (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2 5 m   . Do m nên   3;4;5 m .

Câu 2. Tìm m để bất phương trình 2 2 2 log 2 2( 1)log 2 0 x m x     có nghiệm ( 2; ). x 

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

A. (0; ) m . B. 3 ;0 4 m       

. C. 3 ; 4 m        

. D. ( ;0) m .

Lời giải Chọn C

Ta có 2 2 2 log 2 2( 1)log 2 0 x m x       

2 2 2 1 log 2( 1)log 2 0 x m x      .  

Đặt 2 log t x  . Do 1 ( 2; ) ; 2 x t         

.

Khi đó   trở thành  

2 1 2( 1) 2 0 t m t     

  

2 1 2 1 2 t m t     

2 1 2 t f t m t    (1).

Xét hàm  1 2 2 t f t t   liên tục trên 1 ; 2     

.

Ta có   2 1; 2

1 1 1 1 3 0, ; min 2 2 2 2 4 f t t f t f t     

                   

.

Khi đó (1) đúng với mọi 1 ; 2 t        

khi  1; 2 min f t m     

  3 4 m  .

Câu 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc   100;100  của tham số mđể bất phương trình

    0,02 2 0,02 log log 3 1 log x m   nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng   ;0  ?

A. 99. B. 98. C. 100 . D. 101. Lời giải Chọn C

Điều kiện:   2 log 3 1 0 0 0

x

m m

      

 

.

Ta có       0,02 2 0,02 2 log log 3 1 log log 3 1 x x m m      .

Xét hàm số    2 log 3 1 x f x   . Ta có   

3 .ln3 ' 0 3 1 .ln 2

x

x f x x    

.

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc   ;0  khi

1. m 

Do m nguyên và thuộc đoạn   100;100  nên   1;2;3;4;.....;100 m .