Chuyên đề trắc nghiệm công thức logarit

CHỦ ĐỀ 2: CÔNG THỨC LOGARIT

1. Định nghĩa: Cho 2 số dương ,a b với 1 a ≠. Số α thõa mãn đẳng thức a b α = được gọi là logarit cơ

số a của b kí hiệu là loga b . Như vậy loga a b b α α = ⇔ =

Chú ý:

- Không tồn tại Logarit của số âm và số 0.

- Cho 2 số dương ,a b với 1 a ≠, ta có các tính chất sau: log 1 0;log 1 a a a = =

2. Các công thức Logarit

• Công thức 1: log x a a x = với ;1 0 x a ∀∈ ≠ > 

• Công thức 2: ( ) log log log a a a x y xy + = với , , 0 x y a > và 1 a ≠

log log log a a a x x y y − = với , , 0 x y a > và 1 a ≠

Chú ý: Với ; 0 x y < và 0 1 a < ≠ ta có: ( ) ( ) ( ) log log log a a a xy x y = − + −

• Công thức 3: log .log n a a b n b = và ( ) 1 log .log , 0; 1 n a a b b a b a n = > ≠

Như vậy: log .log m n a a n b b m =

• Công thức 4: (đổi cơ số) log log log

a b a

c c b =

Cách viết khác của công thức đổi cơ số: log .log log a b a b c c = với ; ; 0 a b c > và ; 1 a b ≠

Hệ quả: Khi cho a = c ta có: 1 log .log log 1 log log c b c c b b c c b c = = ⇔ = (gọi là nghịch đảo)

Tổng quát với nhiều số:

1 2 1 1 2 3 log x .log ......log log 1 n x x x n x n x x x − = = (với 1 1 ;.... 0 n x x ≠ > )

• Công thức 5: log log b b c a a c = với ; ; 0 a b c > ; 1 b ≠

3. Logarit thập phân, logarit tự nhiên.

• Logarit thập phân: Logarit cơ số a = 10 gọi là logarit thập phân ký hiệu: log ( 0) x x > (log x được hiểu

là 10 log x ). Đọc là Lốc x.

• Logarit tự nhiên: Logarit cơ số 2,712818 a e = ≈ gọi là logarit tự nhiên ký hiệu: ln ( 0) x x > .Đọc là len

x hoặc lốc nepe của x (ln x được hiểu là lne x )

DẠNG 1. SỬ DỤNG CÔNG THỨC LOGARIT

Ví dụ 1: Cho số thực a thõa mãn 0 1 a < ≠. Tính giá trị của biểu thức

3 5 2 2 4

15 7 . . loga a a a T a

  =      

A. 3 T = B. 12 5 T = C. 9 5 T = D. 2 T =

Lời giải

Ta có:

2 4 2 2 4 7 3 5 2 2 4 3 5 2 3 3 5 15 7 15 7 15

. . log log log log 3 a a a a a a a a T a a a a

+ + + + −   = = = = =      

. Chọn A

Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c thõa mãn 1 , , 0 a b c ≠ > và các khằng định sau

(1)

3 log 3 log a a a b b  = −    

(2) 5 5 log log 2 a a b b =

(3) ( ) log log .log a a a b c b c + = (4) log log log bc b c a a a = +

Số khẳng định đúng là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Ta có:

3 3 log log log 3 log a a a a a a b b b  = − = − →    

(1) đúng

5 5

1 2 1 1 1 log log . log log 5 2 10 a a a a b b b b = = = → (2) sai

( ) log log .log a a a b c b c + ≠ → (3) sai

1 1 1 log

bc a a a

b c

a bc b c a a

= = = → + +

(4) sai

Vậy có 1 khẳng định đúng. Chọn A.

Ví dụ 3: Cho các số thực a, b, c thõa mãn 1 , , 0 a b c ≠ > và các khằng định sau

(1) ( ) 3 log 3 3loga a ab b = + (2) 4 6 log log 2log a a a b b b + =

(3) 1 ln ln ln 2 a a b b = − (4) ( ) log log log a a a b c b c + = +

Số khẳng định đúng là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 1 log log log log log 3 3 3 3 a a a a a ab ab a b b = = + = + → (1) sai

4

1 6 2 6 1 3 log log log log log log 2log 4 2 2 a a a a a a a b b b b b b b + = + = + = → (2) đúng

1 2 1 ln 2 a a b a b a b b = − = − = − → (3) đúng

( ) log log log a a a b c b c + ≠ + → (4) sai

Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn B

Ví dụ 4: Cho các số thực a, b thỏa mãn a < b < 0 và các khẳng định sau :

(1) ( ) ( ) 2 ln 2 ln ln ab a b = + (2) ( ) 1 ln ln ln 2 ab a b = +

(3)

2 2 2 4 ln ln 2ln a a b b  = −    

(4) ( ) ( ) ( ) ln ln ln ab a b = − + −

Số khẳng định đúng là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Chú ý: Do 0 a b < < nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln . ln ln ln ln ab a b a b a b = − − = − + − = +    

Do đó ( ) ( ) ( ) 2 ln 2ln 2 ln ln ab ab a b = = + → (1) sai

( ) ( ) 1 1 ln ln ln ln 2 2 ab ab a b = = + → (2) đúng

2 2 4 2 2 4 ln ln ln ln 2ln a a b a b b  = − = − →    

(3) đúng

( ) ( ) ( ) ln ln ln ab a b = − + − → (4) đúng

Vậy có 3 khẳng định đúng. Chọn C

Ví dụ 5: Cho các số thực dương và các mệnh đề sau:

(1) 2 1 log log 2log 2 a a a x x y y = − (2) 3

3 9 log log 9log 2 a a a x x y y

 = −      

(3) ( )

2

2 log 4 log log a a a x x y y  = −    

(4) ( ) 2 2 1 log log log 4 a a …