Chuyên đề trắc nghiệm hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Chủ đề 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

I. HÀM SỐ LŨY THỪA

1. Định nghĩa: Hàm số y xα = với , α ∈ được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định

Tập xác định của hàm số y xα = là:

•  với α là số nguyên dương

• { } \ 0  với α là số nguyên âm hoặc bằng 0.

• ( ) 0;+∞ với α không nguyên.

3. Đạo hàm

Hàm số y xα = với α ∈ có đạo hàm với mọi 0 x > và ( ) 1 ' . x x α α α − =

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng ( ) 0;+∞

• 0 y xα = > ( ) ( ) 0; x ∀∈ +∞

• Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm ( ) 1;1

• Khi ( )

1 0 ' ' . 0 y x x α α α α − > ⇒ = = > ( ) ( ) 0; x ∀∈ +∞ hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp này

0 lim ; lim 0 x x x x α α

+ →+∞ → = +∞ = do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

• Khi ( ) 1 0 ' ' . 0 y x x α α α α − < ⇒ = = < ( ) ( ) 0; x ∀∈ +∞ hàm số luôn nghịch biến

Trong trường hợp này

0 lim 0; lim x x x x α α

+ →+∞ → = = +∞ do đó đồ thị hàm số nhận trục Ox là đường tiệm cận

ngang và trục Oy là đường tiệm cận đứng.

5. Đồ thị hàm số lũy thừa = a y x trên khoảng ( ) 0;+∞

Đồ thị hàm số α = y x luôn đi qua điểm ( ) 1;1 . I

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ

cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác

định của nó. Chẳng hạn:

Hàm số: 3 y x = ( ). x∈

Hàm số: 4 y x− = ( ) 0 . x ≠

Hàm số:

1 3 y x = ( ) 0 . x >

II. HÀM SỐ MŨ

1. Định nghĩa

Cho số thực 0. 1

a

a

>  ≠ 

Hàm số x y a = được gọi là hàm số mũ cơ số .a

2. Tập xác định

Tập xác định của hàm số x y a = là : D = 

Do 0; x y a x = > ∀∈ suy ra tập giá trị của hàm số x y a = là ( ) 0; T = +∞

3. Đạo hàm

Đạo hàm: ( )

( )

( )

( )

ln

ln . ' .

. '

x x

u u x x

u u

a a a

a a a u e e

e e u

′ =

′ ′ = ⇒ =

′ =

Công thức giới hạn:

0 1 lim 1.

t

t e t → −=

Với hàm số x y a = ta có: ' ln x y a a =

• Với 1 a > khi đó ' ln 0. x y a a = > Hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp 1 a > ta có lim lim 0 x

x x y a →−∞ →−∞ = = do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận

ngang

• Với 0 1 a < < khi đó ' ln 0. x y a a = < Hàm số luôn nghịch biến

Trong trường hợp 1 a < ta có lim lim 0 x

x x y a →+∞ →+∞ = = do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cân

ngang

4. Đồ thị hàm số = x y a

Đồ thị hàm số = x y a nhận trục Ox là tiệm cận ngang và

luôn đi qua các điểm ( ) 0;1 và ( ) 1;a

Đồ thị hàm số x y a = nằm phía trên trục hoành

( ) 0 x y a x = > ∀∈

III. HÀM SỐ LOGARIT

1. Định nghĩa

Cho số thực 0. 1

a

a

>  ≠ 

Hàm số loga y x = được gọi là hàm số lôgarít cơ số .a

2. Tập xác định

• Hàm số: ( ) log 0 1 a y x a = < ≠ có tập xác định: ( ) 0; D = +∞

Do loga x∈ nên hàm số loga y x = có tập giá trị là . T = 

• Hàm số ( ) loga y P x = ⇒     điều kiện: ( ) 0. P x >

Nếu a chứa biến x thì ta bổ sung điều kiện 0 1. a < ≠

Đặc biệt: ( ) log n

a y P x = ⇒     điều kiện: ( ) 0 P x > nếu n lẻ; ( ) 0 P x ≠ nếu n chẵn.

3. Đạo hàm

Đạo hàm: ( ) ( ) 1 log log . ln ln a a u u x u a x a ′ ′ ′ = ⇒ = Đặc biệt: ( ) log . ln a u u u a ′ ′ =

4. Tính chất

Với hàm số ( ) ( ) 1 log ' 0; . ln a y x y x x a = ⇒ = ∀∈ +∞ Do đó:

• Với 1 a > ta có ( ) 1 log ' 0 ln a x x a = > ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( ) 0; . +∞

Trong trường hợp này ta có:

0 lim x y + → = −∞ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.

• Với 0 1 a < < ta có: ( ) 1 log ' 0 ln a x x a = < ⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ( ) 0; . +∞

• Trong trường hợp này ta có: 0 lim x y + → = +∞ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.

5. Đồ thị hàm số = loga y x

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi

qua các điểm ( ) 1;0 và ( ) ;1 a và nằm phía bên phải trục

tung vì có tập xác định là ( ) 0; . D +∞

Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.

 Nhận xét: Đồ thị hàm số x y a = và ( ) log , 0 1 a y x a = < ≠ đối xứng nhau qua đường thẳng , y x = (góc

phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ ). Oxy

 DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số ( ) ( )

1 2 3 2 9 log 1 . y x x = − + −

A. ( ) 1; . D = +∞ B. ( ) 1;3 . D = C. ( ) 3;3 . D = − D. ( ] 1;3 . D …