Chuyên đề trắc nghiệm phương trình mũ

CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1) Phương trình mũ cơ bản

Phương trình: x a b = (với 0; 1 a a > ≠ )

Với 0 b > , ta có log x a a b x b = ⇔ =

Với 0 b ≤ , phương trình đã cho vô nghiệm.

2) Các phương pháp giải phương trình mũ

Phương pháp 1. Đưa về cùng cơ số

Nếu 1 0 a ≠ > thì phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x = ⇔ =

Phương trình dạng: ( ) ( ) f x g x a b = , với ( ) . 1 1 ; 0 a b a b = ≠ > ta sẽ giải như sau:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 g x g x f x g x f x g x a b a a a f x g x a

− −   = ⇔ = = = ⇔ = −    

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a)

2 1 2 1 3 3 x x x −+ − = b) ( )

1 5 7 2 1,5 3

x x + −   =    

Lời giải

a) Ta có:

2 1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 1 3 2 0 2

x x x x x x x x x x

−+ − =  = ⇔ − + = −⇔ − + = ⇔= 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 1; 2 x x = =

b) Ta có: ( )

5 7 1 1 1 5 7 5 7 2 3 3 3 1,5 3 2 2 2

x x x x x

− + + − − + −           = ⇔ = =                      

1 5 7 6 6 1 x x x x ⇔ + = − + ⇔ = ⇔ =

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 1 2 1 2 2 2 5 2.5 x x x x x + + − + + = + b) ( ) ( )

1 1 1 5 2 5 2

x x x − − + + = −

Lời giải

a) 2 5 7 2 2.2 4.2 5 2. 7.2 .5 5 5

x x x x x x PT ⇔ + + = + ⇔ =

2 5

2 1 2 1 1 log 5 5 5 5 5

x x

x x   ⇔ = ⇔ = ⇔ =    

b) Do ( )( ) ( ) ( )

1 5 2 5 2 1 5 2 5 2 − + − = ⇒ + = −

Do đó ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 5 2 5 2 5 2 5 2

x x x x x x PT

− − − − − + +   ⇔ − = − = − = −     (ĐK 1 x ≠−)

2 2 1 1 1 1 1 2 0 2 1

x x x x x x x x x

=  − ⇔− = ⇔− = −⇔ + − = ⇔= − + 

Vậy nghiệm của phương trình là 1; 2 x x = = −.

Ví dụ 3: Giải các phương trình 1 2 1 2 2 2 5 2.5 x x x x x + + − + + = +

Lời giải

Ta có 1 2 1 2 1 2 2 2 5 2.5 2 2 .2 2 .2 5 2.5 .5

x x x x x x x x x x + + − + + = + ⇔ + + = +

( ) 5 2

2 7 5 1 2 4 2 1 .5 7.2 .5 5 log 5 5 5 2

x x x x x x     ⇔ + + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ =        

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là 5 2 log 5 x = .

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau

a)

2 3 2 1 2 16 x x x + − + = b)

2 4 1 3 243

x x − + =

Lời giải

a)

2 2 3 2 1 3 2 4 4 2 2 2 2 16 2 2 3 2 4 4 6 0 3

x x x x x x x x x x x x x

+ − + + − + =  = ⇔ = ⇔ + − = + ⇔ − − = ⇔= − 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 2 x = và 3 x = −.

b)

2 2 4 4 5 2 1 1 3 3 3 4 5 5 243

x x x x x x x x

− + − + − = −  = ⇔ = ⇔− + = −⇔= 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1; 5 x x = − =

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau

a)

10 5 10 15 16 0,125.8

x x x x + + − − = b) ( )

2 2 2 2 1 1 2 5 3 2 5 3 x x x x + − − − = −

Lời giải

a) Điều kiện: 10 0 10

15 0 15

x x

x x

− ≠ ≠   ⇔   − ≠ ≠  

Do 4 3 3 1 16 2 ;0,125 2 ;8 2 8

− = = = = nên ta có

10 5 4. 3. 3 10 15 10 5 2 2 .2 4. 3 3. 10 15

x x x x x x PT x x

+ + − − − + + ⇔ = ⇔ = −+ − −

( ) ( ) 2 0 4 10 60 5 150 15 150 20 10 15

x x x x x x x x

= +  ⇔ = ⇔ − − = − →= − − 

Vậy phương trình có nghiệm 0; 20 x x = = .

b) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 5 3 2 5 3 5 3.3 5 3 5 5 3.3 3 5 9 5 9

x x x x x x x x x x x x + − − − = − ⇔ − = − ⇔ − = −

2 2

2 2 3 3 25 5 125 5 5 5 3 3 5 9 3 27 3 3

x x x x x       ⇔ = ⇔ = ⇔ = → = ±            

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 3 x = ± .

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:

a) 2 9 27 . 3 8 64

x x   =      

b) 1 2 1 4.9 3 2 x x − + =

Lời giải

a)

3 3 2 9 27 2 9 3 3 3 . . 3 3 8 64 3 8 4 4 4

x x x x x            = ⇔ = ⇔ = → =                      

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 3 x = .

b) ( )

2 1 1 3 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2

4.9 4.9 3 2 1 3 .2 1 3 . 2 1 3.2

x x x x x x x x

+ − − − − + − − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2 3 0 3 3 3 1 2 2 2

x x

−     ⇔ = = ⇔ =        

. Vậy phương trình đã cho có nghiệm 3 2 x = .

Cách khác: 1 2 1 1 2 1 81 81 18.81 4.9 3 2 16.81 9.2 16. 9.2.4 81 4 16

x x x x x x x − + − +   = ⇔ = ⇔ = ⇔ =    

2 3 9 9 3 2 2 2

x x     ⇔ = ⇔ =        

.

Ví dụ 7: Giải các phương trình …