Chuyên đề trắc nghiệm phương trình logarit

CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

 Khái niệm:

Là phương trình có dạng ( ) ( ) log log , (1) = a a f x g x

trong đó ( ) f x và ( ) g x là các hàm số chứa ẩn x cần giải.

 Cách giải:

- Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa

0; 1 ( ) 0 ( ) 0

> ≠  >   > 

a a f x g x

- Biến đổi (1) về các dạng sau: (1) ⇔ ( ) ( ) 1 f x g x a = =

 Chú ý:

- Với dạng phương trình ( ) log ( ) ab a f x b f x = ⇔ =

- Đẩy lũy thừa bậc chẵn: 2 log 2 log n a a x n x = , nếu x > 0 thì n log n a a x log x =

- Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 g x f x g x f x g x

≥  = ⇔ =      

- Các công thức Logarit thường sử dụng: ( )

log log ;

log ; log

1 log log ; log log

= =   = + = −    

= =

a

n

x x a

a a a a a a

m a a a b

a x a x x xy x y x y y m x x b n a

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ( ) 2 2 log 2 3. x x + + = b) ( ) ( ) 3 3 log 2 1 log 3 2. x x + + − =

Lời giải:

a) Ta có: 2 2 2 2 8 6 0 3 x PT x x x x x =  ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔= − 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; -3}.

b) Điều kiện: 3 x > . Khi đó ( )( ) 2 3 3 PT log 2 1 3 log 9 2 5 3 9 ⇔ + − = ⇔ − − =     x x x x

2 4 2 5 12 0 3 2

x x x x

=   ⇔ − − = ⇔ − = 

.

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 4.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) ( ) 2 2 log 4 3 2log . x x + = − b) ( ) ( ) 8 2 3log 2 log 3 2 7 0. x x − − + + =

Lời giải:

a) Điều kiện: 0 x > . Khi đó ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 PT log 4 log 3 log 4 3 4 8   ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + =   x x x x x x

( )( ) 2 2 2 2 4 0 1 5 1 5

x x x x x x

= −   ⇔ + + − = ⇔ = −+  = −− 

.

Kết hợp ĐK 0 x > . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 1 5 x = −+

b) Điều kiện: 2 x > . Khi đó ( ) ( ) 3 1 2 2 2 PT 3log 2 log 3 2 7 0 ⇔ − − + + = x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 7 2 2 2 2 2

2 2 2 2

log 2 2log 3 2 7 0 log 2 log 3 2 log 2 0 10 128 2 log 0 128 2 3 2 9 116 260 0 / . 26 3 2 9

⇔ − − + + = ⇔ − − + + = =  −  ⇔ = ⇔ − = + ⇔ − + = ⇔ =  + 

x x x x x x x x x x t m x x

Vậy nghiệm của phương trình là 26 10; . 9 = = x x

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) ( ) 2 log 1 1 x x − =     b) ( ) 2 2 log log 1 1 x x + − =

c) ( ) 2 1 8 log 2 6log 3 5 2 x x − − − = d) ( ) ( ) 2 2 log 3 log 1 3 x x − + − =

Lời giải:

a) Điều kiện: ( ) 1 0 1; 0 x x x x − > ⇔ > < .

Ta có: ( ) 2 1 2 2 0 1; 2 PT x x x x x x ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ = − =

Vậy phương trình có nghiệm là 1; 2. x x = − =

b) Điều kiện: 1 x > .

Ta có phương trình tương đương với ( ) 2 2 log 1 2 2 0 1; 2 x x x x x x − = ⇔ − − = ⇔ = − =    

Vậy phương trình có nghiệm là 1; 2. x x = − =

c) Điều kiện: 2 x > .

Ta có: ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 log 2 log 3 5 2 2 3 5 4 3 11 6 0 3; 3 PT x x x x x x x x ⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = =

Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là 3. x =

d) Điều kiện: 3 x > .

Ta có: ( )( ) 2 3 1 8 4 5 0 1; 5 PT x x x x x x ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = − =

Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là 5. x =

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

a) ( ) ( ) lg 2 lg 3 1 lg5 x x − + − = − b) ( ) ( ) 8 8 2 2log 2 log 3 3 x x − − − =

c) lg 5 4 lg 1 2 lg0,18 x x − + + = + d) ( ) ( ) 2 3 3 log 6 log 2 1 x x − = − +

Lời giải:

a) Điều kiện: { 2 0 3 3 0 − > ⇔ > − > x x x .

Ta có: ( )( ) 2 lg 2 3 lg 2 5 4 0 1; 4. PT x x x x x x ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = =

Đối chiếu với điều kiện pt có nghiệm là 4. x =

b) Điều kiện: { 2 3. 3 x x x > ⇔ > >

Ta có: ( )

2

2 8 2 2 log 8 16 0 4 ( ). 3 3 − ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = − x PT x x x TM x

Vậy PT có nghiệm là 4. x =

c) Điều kiện:

5 5 4 4 1

x x x

> ⇔ >  > − 

.

Ta có: ( )( ) ( )( )

2 41 lg 5 4 1 lg18 5 4 1 18 5 328 0 8; . 5 ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ + − = ⇔ = = − PT x x x x x x x x

Đối chiếu với điều kiện nên phương trình có nghiệm là 8. x =

d) Điều kiện:

2 6 0 6 2 0 x x x  − > ⇔ > − > 

.

Ta có: ( ) ( ) 2 2 3 3 log 6 log 3 2 3 0 0; 3. ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ = = PT x x x x x x

Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm x = 3.

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

a) ( ) ( ) 2 2 5

1 log 3 log …