Bài tập trắc nghiệm tổ hợp và xác suất nâng cao có lời giải chi tiết

Email: chuviettan@gmail.com

Câu 1. Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng đi qua các cặp điểm trong 5 điểm đó không có 2 đường thẳng nào song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các đường vuông góc với tất cả các đường thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm còn lại. Không kể 5 điểm đã cho số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó nhiều nhất là bao nhiêu? A. 310 . B. 330 . C. 360 . D. 325 .

Lời giải

Tác giả : Chu Viết Tấn,Tên FB: Chu Viết Tấn

Chọn A

Gọi 5 điểm đó là , , , , A B C D E

Có

2 4 6 C  đường thẳng không đi qua A nên từ A kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng đó. Tương tự từ B kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng không đi qua B. Đáng lẽ ra 2 nhóm đường thẳng này cắt nhau tại 6 6 36   điểm ( Không kể , A B ).

Nhưng vì có

2 3 3 C  đường thẳng không đi qua 2 điểm , A B nên 3 đường thẳng vuông góc vẽ từ A và 3 đường thẳng vuông góc vẽ từ B đôi một song song với nhau nên số giao điểm của 2 nhóm đường thẳng vuông góc này chỉ còn 36-3=33 điểm. Có

2 5 10 C  cách chọn các cặp điểm như vậy nên có 330 giao điểm của các đường thẳng vuông góc. Thế nhưng cứ mỗi 3 điểm như

, , A B C thì 3 đường cao của tam giác này trong số các đường vuông góc đó lại đồng quy tại 1

điểm ( thay vì cắt nhau tại 3 điểm) nên số giao điểm giảm đi 2. Vì có

3 5 10 C  tam giác như tam giác ABC nên số giao điểm giản đi 20. Vậy số giao điểm nhiều nhất của các đường thẳng vuông goác là 330-20=310.

Mở rộng: Bài này có thể tổng quát cho n điểm (n>2)

trungthuong2009@gmail.com

Câu 2. Từ các chữ số thuộc tập   1;2;3;4;5;6;7 X  có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5

chữ số khác nhau sao cho mỗi số tự nhiên đó đều chia hết cho 9. A. 96. B. 144. C. 72 . D. 120.

Lời giải

Tác giả : Phạm Thành Trung,Tên FB: Phạm Thành Trung Chọn A

Ta có nhận xét 1 2 3 4 5 6 7 28        là số khi chia cho 9 có dư là 1.

Vậy khi đó để chọn ra số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 9 ta cần loại đi trong tập X hai chữ số có tổng khi chia cho 9 dư là 1.

Do đó có hai trường hợp loại đi hai số có tổng chia cho 9 dư 1 là    3;7 ; 4;6

Khi loại đi cặp   3;7 ta có:

+ Chọn số cho vị trí hàng đơn vị có 3 cách.

+ Chọn số cho các vị trí còn lại có 4! cách.

Trường hợp này có 3.4! 72  số.

Khi loại đi cặp   4;6 ta có:

+ Chọn số cho vị trí hàng đơn vị có 1 cách.

+ Chọn số cho các vị trí còn lại có 4! cách.

Trường hợp này có 4! 24  số.

Vậy có tất cả 72 24 96   số thỏa mãn yêu cầu.

Nguyenhang15401@gmail.com

Câu 3. (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Một khối lập phương có độ dài cạnh là 2cm được chia thành 8 khối lập phương cạnh 1cm. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của khối lập phương cạnh 1cm. A. 2876 . B. 2898 . C. 2915 . D. 2012 . Lời giải Tác giả : Nguyễn Thúy Hằng, FB: Hằng-RuBy-Nguyễn

Chọn D

Có tất cả 27 điểm.

Chọn 3 điểm trong 27 có 3 27 2925. C 

Có tất cả   8.2 6.2 4.2 4 3 2 2 2 49        bộ ba điểm thẳng hàng.

Vậy có 2925 49 2876   tam giác. tranquocan1980@gmail.com

Câu 4. Cho tập {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A  .Từ các phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó hai số chẵn không thể đứng cạnh nhau? A.26880. B.27360. C.34200. D.37800.

Lời giải

Tácgiả :Trần Quốc An, FB: TranQuocAn

Chọn D

Giả sử số có 6 chữ số thỏa đề bài có dạng 1 2 3 4 5 6 M a a a a a a  .

Nhận xét : Trong các vị trí 1 2 3 4 5 6 , , , , , a a a a a a có tối đa 3 chữ số là số chẵn được lấy từ tập . A

TH1 : Số M chỉ chứa 1 chữ số chẵn

+ 1a chẵn : 1a có 4 cách chọn

Các vị trí 2 3 5 , ,.., a a a là số lẻ nên có 5! cách xếp

TH này có : 4.5! 480  cách chọn.

+ 1a lẻ : 1a có 5 cách chọn

Chọn một chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ và xếp chúng ở 5 vị trí 2 3 5 , ,.., a a a như sau

1 4 5 4 . .5! C C cách

TH này có : 1 4 5 4 5. . .5! 3000 C C  cách chọn.

TH2: Số M có chứa 2 chữ số chẵn .

+ 1a chẵn : 1a có 4 cách chọn