Chủ đề giới hạn của dãy số Toán 11 KNTTVCS - Lê Bá Bảo

GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC TOÁN 11

KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

LÊ BÁ BẢO TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

GIỚI HẠN DÃY SỐ

Chuyên đề GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

CHƯƠNG IV

GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

Chủ đề 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số Định nghĩa 1 Ta nói dãy số   n u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn một số

dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim 0 n n u   hay 0 n u  khi . n

Kết quả

+) 1 lim 0 k n n   với k là một số nguyên dương;

+) lim 0 n

n q   nếu 1; q 

+) Nếu n n u v  với mọi 1 n  và lim 0 n n v   thì lim 0. n n u  

Định nghĩa 2 Ta nói dãy số   n u có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu   lim 0, n n u a    kí

hiệu lim n n u a   hay n u a  khi . n

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số a) Nếu lim n n u a   và lim n n v b   thì

  lim ; n n n u v a b       lim ; n n n u v a b    

  lim . . ; n n n u v a b   lim n

n

n

u a v b   (nếu 0 b  )

b) Nếu 0 n u  với mọi n và lim n n u a   thì 0 a  và lim . n n u a  

3. Tổng của cấp số nhân lùi hạn Cấp số nhân vô hạn   n u có công bội q với 1 q  được gọi là cấp nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi hạn   n u với công bội .q Khi đó:   1

1 2

1 ... . 1

n

n n

u q S u u u q

      

Khi 1 1 2 : lim ... ... 1 n n n

u n S S u u u q           (tổng của cấp số nhân lùi vô hạn)

Kết quả:   1 ; 1 1

u S q q   

4. Giới hạn vô cực của dãy số a. Định nghĩa Dãy số   n u được gọi là có giới hạn  khi n nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì,

kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim n n u   hay n u  khi . n

Chuyên đề GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Dãy số   n u được gọi là có giới hạn  khi n nếu   lim , n n u   kí hiệu lim n n u   hay

n u  khi . n

b. Kết quả +) lim k

n n   với k là số nguyên dương;

+) lim n

n q   với 1. q 

c. Quy tắc

+) Nếu lim n n u a   và lim n n v   (hoặc lim n n v  ) thì lim 0. n

n

n

u v  

+) Nếu lim 0 n n u a    và lim 0 n n v   và 0 n v  với mọi n thì lim . n

n

n

u v  

+) Nếu lim n n u   và lim 0 n n v a    thì   lim . n n n u v  

II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Để thuận tiện khi tiếp cận các kho bài tập từ ngân hàng, tác giả xin phép dùng kí hiệu lim n u thay cho

kí hiệu lim . n n u 

Câu 1: Tính các giới hạn sau:

a) 1

2 lim 2 . n I n 

       

b) 2

2 1 lim . 5 3 n

n I n 

  

c)

2

3 2 2 4 7 lim . 7 3 n

n n I

n 

  

 d) 4 2

4 5 lim . 5 2 1 n

n I

n n 

 

 

Câu 2: Tính các giới hạn sau:

a)   

  

2 3

1 3 2 2 1 5 3 lim . 3 4 1 n

n n I

n n 

  

 

b)  

  

6

2 4 2 2 1

. l

2 im

2 1 n I

n

n n    



Câu 3: Tính các giới hạn sau:

a) 1

2 2 lim 4 . 5

n

n I n 

               

b) 2

2 7 lim . 5 3.7

n n

n n n I



 



c)

1

3

5.2 3 lim . 2 3

n n

n n n I





 

 d)

1 1

4

3.5 2 lim . 2.5 3

n n

n n n I

 



 



Câu 4: Tính các tổng sau:

a) 2 1 1 1 ... ... 3 3 3n S      b) 16 8 4 2 ... S    

Câu 5: Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a) 0,353535...  b) 5,231231... 

Câu 6: Tính giới hạn 2 3 2 2 2 2 lim 2 ... 3 3 3 3n           

.

Câu 7: Tính các giới hạn sau:

a) 1 2

1 lim . 2 4 n

n I

n n 

 

 

b)

2

2 2

4 5 lim . 2 n

n n n I

n n 

   

 