Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác - Trần Xuyến Chi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰNHIÊN

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

TRẦN THỊXUYẾN CHI

CÁC BÀI TOÁN VỀHỆTHỨC LƯỢNG

TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SỸTOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰNHIÊN

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

TRẦN THỊXUYẾN CHI

CÁC BÀI TOÁN VỀHỆTHỨC LƯỢNG

TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SỸTOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.0113

Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. PHAN HUY KHẢI

HÀ NỘI - 2014

Mục lục

Mởđầu 3

Một sốký hiệu 4

1 Kiến thức cơ sở 5 1.1 Các hệthức lượng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Các hệthức lượng giác cơ bản trong tam giác . . . . . . . . . 9

2 Hệthức lượng trong tam giác thường 11 2.1 Hệthức lượng giác không điều kiện . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Hệthức lượng giác có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Bài tập đềnghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Hệthức lượng trong tam giác vuông 25 3.1 Sửdụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác vuông. . . . 25 3.2 Bài tập đềnghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Hệthức lượng trong tam giác cân 38 4.1 Sửdụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác cân. . . . . 38 4.2 Bài tập đềnghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Hệthức lượng trong tam giác đều 47 5.1 Sửdụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác đều . . . . . 47 5.2 Nhận dạng tam giác đều từhệđiều kiện . . . . . . . . . . . . 51 5.3 Bài tập đềnghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Hệthức lượng trong các tam giác đặc biệt khác 56 6.1 Các yếu tốtrong tam giác được cho dưới dạng một cấp số. . 56 6.2 Các yếu tốtrong tam giác được cho dưới dạng hình học . . . 65 6.3 Bài tập đềnghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Phụlục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS Phan Huy Khải người đã tận tình hướng dẫn đểem có thểhoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏlòng biết ơn chân thành tới toàn thểcác thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học TựNhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, khích lệvà giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận.

Hà Nội, ngày 15 tháng 02 năm 2014 Học viên Trần ThịXuyến Chi

2

Mởđầu

Hệthức lượng trong tam giác là nội dung quan trọng trong trường phổ thông, thường gặp trong các đềthi tuyển sinh vào đại học và các kỳthi học sinh giỏi các cấp. Đây là chuyên đềhay và tương đối khó với học sinh phổ thông. Đểcó cái nhìn toàn cảnh vềchuyên đềnày, luận văn đi sâu vào nghiên cứu các bài toán vềhệthức lượng trong tam giác. Cấu trúc luận văn gồm 6 chương. Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương 2. Hệthức lượng trong tam giác thường. Chương 3. Hệthức lượng trong tam giác vuông. Chương 4. Hệthức lượng trong tam giác cân. Chương 5. Hệthức lượng trong tam giác đều. Chương 6. Hệthức lượng trong các tam giác đặc biệt khác. Bây giờchúng tôi sẽnói kỹmột chương tiêu biểu, ví dụnhư chương 3. Trong chương này chúng tôi sẽtrình bày các phần sau: 1. Nhận dạng tam giác vuông. Trong mục này đưa ra những đặc điểm tiêu biểu nhất của tam giác vuông. Phương pháp đểchứng minh tam giác vuông là biến đổi biểu thức đưa vềmột trong các đặc điểm này. 2. Các ví dụvềnhận dạng tam giác vuông. Ởđây chúng tôi trình bày những ví dụtiêu biểu nhất được phân loại từdễđến khó. 3. Hệthống và phân loại bài tập vềtam giác vuông. Phần cuối luận văn là phụlục. Trong đó chúng tôi trình bày cách thiết lập các hệthức lượng giác cơ bản trong tam giác dựa vào mối liên hệgiữa các yếu tốcủa tam giác và …