Bất đẳng thức trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi - Nguyễn Tuấn Anh

Nguyễn Tuấn Anh

BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC ĐỀCHỌN ĐỘI TUYỂN NĂM HỌC 2016 - 2017

Ngày 10 tháng 11 năm 2016

Tóm tắt nội dung

Tài liệu bao gồm 2 phần chính:

• Phần 1: Lời giải câu Bất đẳng thức trong đềthi chọn đội tuyển của các trường

Chuyên, các Tỉnh, đềthi HSG cấp tỉnh năm học 2016 - 2017, cũng như các kỳ

thi tập huấn đội tuyển (Gặp gỡtoán học, Trại hè... năm 2016).

• Phần 2: Phần bổsung các kỹthuật, phương pháp chứng minh BĐT.1

Xin gửi lời cám ơn chân thành đến các bạn trong nhóm luôn ủng hộđểhoàn thành

tài liệu. Mọi đóng góp vềtài liệu xin gửi về: anh110004@gmail.com

Nguyễn Tuấn Anh

THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp

Mục lục

1 Phần 1 2

2 Phần 2 58

2.1 Kỹthuật chọn điểm rơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2 Phương pháp tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3 Phương pháp pqr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3.1 Một sốphân tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3.2 Một sốđánh giá đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3.3 BĐT Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3.4 Ví dụminh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4 Phương pháp dồn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.5 Phương pháp SOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5.1 Các phân tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5.2 Định lý SOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.3 Ví dụminh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1Các kỹthuật được trình bày trong phần 1 cũng như các kỹthuật thông dụng hiện nay.

1

THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

Nguyễn Tuấn Anh

1 Phần 1

Bài 1 (Tp. HCM - Ngày thứ1).

Với a, b, c là các sốthực có tổng bằng 0. Tìm GTNN của biểu thức:

P = a2 + 1 2 + b2 + 1 2 + c2 + 1 2 + 6 √

6abc

LỜI GIẢI.

• Nếu a = b = c = 0 thì P = 3.

• Ngược lại ta chỉcần tìm GTNN của P trong trường hợp có hai sốdương và một sốâm

(tại sao?). Không mất tính tổng quát ta giảsửa, b > 0; c < 0 khi đó ta đặt c = −d với

d > 0 ta được:

d = a + b

Vậy

P = a4 + b4 + d4 + 2 a2 + b2 + d2 −6 √

6abd + 3

Theo BĐT AM - GM ta lại có:

a4 + b4 + d4 + 2 a2 + b2 + d2

= a4 + b4 +

16 lần z }| { d4

16 + ... + d4

16 + 2

3a2 + 2

3a2 + 2

3a2 + 2

3b2 + 2

3b2 + 2

3b2 +

12 lần z }| { 1 6d2 + ... + 1

6d2

≥36 36 r

26.a10b10d88

264.212.318 = 36 36 r

a10b10d88

264.26.318 = 6 36 r

318.a10b10d88

234 = 6 36 s

318.a10b10d36.(d2)26

234

Vì d

2

2 = a + b

2

2 ≥ab ⇒d2 ≥22ab

Do đó:

a4 + b4 + d4 + 2 a2 + b2 + d2 ≥6 36 s

318.a10b10d36.(d2)26

234 ≥6 36 r

318.252.a10b10d36.a26.b26

234

= 6 36√

318.218abd = 6 √

6abd

Vậy

P = a4 + b4 + d4 + 2 a2 + b2 + d2 −6 √

6abd + 3 ≥3

2

THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

Nguyễn Tuấn Anh

Cảhai trường hợp ta được P ≥3 đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b = c = 0 hoặc

a = b =

√

6 3 , c = −2 √

6 3 và các hoán vịcủa nó. Tức GTNN của P là 3. □

Nhận xét: Bài toán kiểm tra kỹnăng chọn điểm rơi khi dùng BĐT AM - GM (đây là kỹnăng

khá quan trọng)2

Bài 2 (PTNK).

Tìm sốnguyên dương k nhỏnhất sao cho BĐT sau:

xkykzk x3 + y3 + z3 ≤3

đúng với mọi sốthực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3.

LỜI GIẢI.

Cách 1: Chọn x = y = 0.8, z = 1.4 dễdàng kiểm chứng k = 1, 2 BĐT trên không đúng. Ta sẽ

chứng minh k nguyên dương nhỏnhất đểBĐT đềbài cho luôn đúng là k = 3.

Với k = 3 ta cần chứng minh:

x3y3z3 x3 + y3 + z3 ≤3

Không mất tính tổng quát ta giảsửx ≤y ≤z. Khi đó luôn tồn tại m > n ≥0 sao cho

x = m −n, y = m + n. Khi đó:  



z = 3 −2m

m = x + y

2 ≤1

• Xét hàm số:

f (n) = (m −n)3(m + n)3z3 z3 + (m −n)3 + (m + n)3 = z3 m2 −n2 3 z3 + 2m3 + 6mn2

Khi đó:

f ′ (n) = z3 h −6n m2 −n2 2 z3 + 2m3 + 6mn2 + m2 −n2 3 (12mn) i

= z3 m2 −n2 2 −6n z3 + 2m3 + 6mn2 + m2 −n2 (12mn)

= z3 m2 −n2 2 −6nz3 …