Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

MỤC LỤC Trang

Chương I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Chủ đề 1 Kỹ thuật biến đổi tương đương 3

Chủ đề 2 Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính

chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 44

1. Sử dụng tính chất của tỉ số 45

2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 54

3. Sử dụng tính chất tam thức bậc hai. 59

Chủ đề 3 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng 68

Chủ đề 4 Chứng minh các bất đẳng thức về tổng, tích của dãy số - Phương

pháp quy nạp 86

Chủ đề 5 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức CAUCHY 117

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang

trung bình nhân 118

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang

trung bình cộng. 141

3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy 161

4. Kỹ thuật thêm bớt 175

5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 191

6. Kỹ thuật đổi biến số 199

Chủ đề 6 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPXKI 220

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi 221

2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản 236

3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 252

4. Kỹ thuật thêm bớt 275

5. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki 289

Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC

Chủ đề 7 Ứng dụng nguyên lý DIRICHLET trong chứng minh bất đẳng thức 307

Chủ đề 8 Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức 319

Chủ đề 9 Ứng dụng một hệ quả của bất đẳng thức SCHUR 333

Chủ đề 10 Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán 344

tìm cực trị.

1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh

điển 344

2. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật đổi biến số. 367

3. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật sắp thứ tự các biến 382

4. Phương pháp tiếp tuyến 389

5. Khảo sát hàm nhiều biến số 393

6. Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề 398

7. Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển 405

Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Chủ đề 11 Một số bất đẳng thức hay và khó 409

Chủ đề 12 Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, thi TSĐH và

tuyển sinh lớp 10 chuyên toán. 649

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩa Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó + A B; A B; A B; A B     được gọi là các bất đẳng thức.

+ Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau A B 0; A B 0; A B 0; A B 0        

+ Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai. Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng. II. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức + Tính chất giao hoán Với các số thực A và B bất kì, ta luôn có A B B A    + Tính chất bắc cầu Với các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có A B, B C A C    

+ Tính chất liên hệ với phép cộng - Với các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có A B A M B M      - Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có

A B; C D A C B D

A B; C D A D B C

      

      

+ Tính chất liên hệ với phép nhân - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có

A B; M 0 A.M B.M

    

    

- Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có

0 A B 0 A.C B.D 0 C D

          

+ Tính chất liên hệ với lũy thừa - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có

n n A B 0 A B 0       , với n là số thực dương.

n n A B A B     , với n là số tự nhiên lẻ.

n n A B A B 0      , với n là số tự nhiên chẵn.

m n m n 0; A 1 A A      

m n m n 0; 0 A 1 A A       

+ Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo

- Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có 1 1 A B A B   

III. Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ

+ 2 A 0  với A