Phương trình có chứa hàm hợp

Một số dạng toán có chứá hàm hợp f(f(…(f(x))…)) Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du số 1,Bắc Ninh Tháng 8-2019

1

.

VŨ HỒNG PHONG (GV THPT Tiên Du số 1, Tiên Du, BắcNinh)

TRẦN VĂN LÂM(XómTiếnBộ,thônVânTrai,xãTânPhú,TháiNguyên)

Khi gặp một phương trình (PT) có chứa các biểu thức dạng hàm hợp

( ( ( ) ( ) )) f f f x  ta cần lưu ý một số hướng sau

để có thể giúp giải được PT. Trước hết ta kí hiệu:

1( ) ( ); f x f x  1 ( ) ( ( )) n n f x f f x   ( 2 n  ).

I. Hƣớng 1. Rút gọn ( ) nf x bằng phương pháp quy nạp hoặc lượng giác hóa.

Thí dụ 1.Cho

2 ( ) . 1

x f x

x 



Biết phương trình

2 6 ( ) 10 n

x f x   có nghiệm 2. x 

Tìm n và các nghiệm còn lại. Lờigiải.Ta có 1 2 ( ) ( )

1

x f x f x

x  



2

2 1 2 2

2

1 ( ) ( ( ))

2 1 1 1

x

x x f x f f x

x x x

   

  

2

3 2 2 2

2

2 1 ( ) ( ( ))

3 1 1 2 1

x

x x f x f f x

x x x

       

Bằng quy nạp (dành cho bạn đọc chứng minh)

ta được

2 ( )

1 n

x f x

nx 



.PT đã cho trở thành

2

2

6 10 1

x x

nx

  

.

PT này có 2 x  là nghiệm phương trình nên

2 8 2 1 5 12. 10 2 1

n n n

     

PT đã cho trở thành:

2

2

6 10 12 1

x x

x

  

2 2

2

0

6 12 1 100

x

x x x

       

4 2 0

12 27 6 0

x

x x

      

2

2

0

2 2 1 4

x

x x

x

           

hoặc 1 2 x  .

Vậy nghiệm còn lại là 1 2 x  

Thí dụ 2.Cho ( ) .1 x f x x   Giải phương trình:

5

1

( ) 0. i i

f x



 

(1)

Lờigiải.Ta có 1( ) ( ) 1 x f x f x x   

2 1 ( ) . 2 1 1 1

x

x x f x x x x

      Bằng quy nạp ta được ( ) 1 n

x f x nx    PT(1) trở thành:

0. (2) 1 2 1 3 1 4 1 5 1 x x x x x x x x x x          

Ta có 0 x  là nghiệm PT(2) . Xét 0 x  thì PT(2) tương đương với 1 1 1 1 1 0. 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 x x x x x

         

(3)

Đặt 1 3 a x  thì PT(3) trở thành:

1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 a a a a a         

2 2 4 2 0; 1; 2 2 2 1 0 4 1 5 15 4 0

a a a a a a a a

             

2

0; 1; 2

15 145 . 15 145 10 10

a

a a

  

        

Với a tìm được thì PT(1) có 5 nghiệm là:

1 0; . 15 145 3 10   

Thí dụ 3.Cho 2 ( ) 2 1. f x x   Tìm số nghiệm của phương trình:

2

5

3 3 ( ) . 2 x x f x    (1)

Lờigiải.ĐK: 2 3 3 0 1 1. x x     Đặt cos x t  với   0; . t  Suy ra

2 1( ) 2cos 1 cos2 f x t t  

2 2 2( ) 2cos 2 1 cos2 . f x t t  

Bằng quy nạp ta được 5 5( ) cos2 . f x t  2 2 cos 3 3cos cos 3sin VP(1) 2 2

cos .cos sin .sin cos . 3 3 3

t t t t

t t t

    

            

PT(1) trở thành:

32 2 3 cos32 cos 3 32 2 3

t t k t t

t t m

                     

31 2 3

33 2 3

t k

t m

          

2 93 31 . 2 99 33

t k

t m

           Với 2 93 31 t k     và   0; t  suyra   0;1;...;15 , k 

tương ứng có 16 nghiệm của PT(1). Với 2 99 33 t m     và   0; t  suy ra

  1;2;...;16 , m tương ứng có 16 nghiệm của PT(1).Xét

2 2 3(31 33 ) 32. 93 31 99 33 k m m k           (2)

Do VT(2) 3 và VP(2) 3 nên PT(2) không có nghiệm nguyên.Vậy PT(1) có đúng 32 nghiệm. II. Hƣớng 2.

Sử dụng một số kết quả sau để giải phương trình. Kếtquả 1. Cho hàm số ( ) y f x  xác định trên

miền D và có tập giá trị là tập con của D. a) Nếu hàm số ( ) y f x  đồng biến trên miền

D thì ta có: ( ) ( ) nf x x f x x    (với *). n

b) Nếu hàm số ( ) y f x  nghịch biến trên trên

miền D thì ta có:

2 2 ( ) ( ) k f x x f x x    (với *). n

2 1( ) ( ) k f x x f x x     (với .) n

Chứng minh.a)

• Giảsử 0x là nghiệm của phương trình ( ) f x x  suy ra

1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ( )) ( ) f x f x x f f x f x x     

2 0 0 3 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ( )) ( ) . f x x f x f f x f x x       Bằng quy nạp ta có 0 0 ( ) . nf x x 

Suy ra 0x là nghiệm PT: ( ) . nf x x 

Vậy ( ) ( ) . n f x x f x x    • Giả sử 0x là nghiệm của phương trình ( ) nf x x  nên có 0 0 ( ) . nf x x  Giả sử 0 0 ( ) f x x  thì do hàm số

( ) y f x  đồng biến …