Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phương trình và hệ phương trình

Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆPHƯƠNG TRÌNH

§1. MỞĐẦU VỀPHƯƠNG TRÌNH

I. Tìm tập xác định của phương trình

Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình (gọi tắt là điều kiện của phương trình) là những điều kiện cần của ẩn x đểcác biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. Các dạng thường gặp:

a) Điều kiện đểbiểu thức p

f(x) có nghĩa là f(x) ≥0;

b) Điều kiện đểbiểu thức 1 f(x) có nghĩa là f(x) ̸= 0;

c) Điều kiện đểbiểu thức 1 p

f(x) có nghĩa là f(x) > 0.

Ví dụ1. Tìm điều kiện của các phương trình sau:

a) 1 x+1 = 3;

b)

√

x−5 = 1;

c) 1 √x+2 = x+1;

d) 1 x+1 − 2 x−3 = x+5.

Lời giải.

a) Điều kiện xác định của phương trình là x+1 ̸= 0 ⇔x ̸= −1.

b) Điều kiện xác định của phương trình là x−5 ≥0 ⇔x ≥5.

c) Điều kiện xác định của phương trình là x+2 > 0 ⇔x > −2.

d) Điều kiện xác định của phương trình là

® x+1 ̸= 0 x−3 ̸= 0 ⇔

® x ̸= −1 x ̸= 3 .

Ví dụ2. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

a) 3 x2 −4 = √3−x

3 ; b) 2x−1 √x−3 = √1−x.

145

146 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆPHƯƠNG TRÌNH

Lời giải.

a) Điều kiện xác định của phương trình là:

® x2 −4 ̸= 0 3−x ≥0 ⇔

® x ̸= ±2 3 ≥x .

b) Điều kiện xác định của phương trình là:

® x−3 > 0 1−x ≥0 ⇔

® x > 3 x ≤1. Vậy không có giá trịnào của x thỏa

mãn cảhai điều kiện này.

Ví dụ3. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra nghiệm của các phương trình sau:

a) √3x−4 = √4−3x;

b) 3x+5−√x−3 = √3−x+2018;

c)

√

5x+15

x+3 = √−x−3.

Lời giải.

a) Điều kiện xác định của phương trình là:

® 3x−4 ≥0 4−3x ≥0 ⇔

  

 

x ≥4

3

x ≤4

3

hay x = 4

3. Thay x = 4

3 vào phương

trình ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4

3.

b) Điều kiện xác định của phương trình là:

® x−3 ≥0 3−x ≥0 ⇔

® x ≥3 x ≤3 ⇔x = 3. Thay x = 3 vào phương trình

ta có 3.3−0 = 0+2018 (vô lý), vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Điều kiện xác định của phương trình là:

  

 

5x+15 ≥0 x+3 ̸= 0 −x−3 ≥0 ⇔

  

 

x ≥−3 x ̸= −3 x ≤−3 . Vậy không có x nào thỏa điều

kiện xác định của phương trình nên phương trình vô nghiệm.

BÀI TẬP TỰLUYỆN

Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

a) 1+ √

2x−5 = 0;

b) 2x+1 2x2 −3x+1 = x−1;

c) x+1 √2x−1 = x−3;

d) x+1

x−2 = 2−3x

5x+1.

Lời giải.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: 2x−5 ≥0 ⇔x ≥5

2.

c) Điều kiện xác định của phương trình là: 2x2 −3x+1 ̸= 0 ⇔x ̸= 1 và x ̸= 1

2.

c) Điều kiện xác định của phương trình là: 2x−1 > 0 ⇔x > 1

2.

d) Điều kiện xác định của phương trình là:

® x−2 ̸= 0 5x+1 ̸= 0 ⇔

 



x ̸= 2

x ̸= −1

5

.

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

1.. MỞĐẦU VỀPHƯƠNG TRÌNH 147

a)

√

x2 +2x+4 = x−1;

b) 1 x2 +1 = x−3;

c)

√

5−2x = √

x2 +x+1;

d) x+1 √

−x2 +4x−5 = x−3.

Lời giải.

a) Điều kiện xác định của phương trình là: x2 +2x+4 ≥0 ⇔(x+1)2 +3 ≥0 (luôn đúng). Vậy phương trình xác định với mọi x ∈R.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: x2 +1 ̸= 0 (luôn đúng). Vậy phương trình xác định với mọi x ∈R.

c) Điều kiện xác định của phương trình là:

đ5−2x ≥0

x2 +x+1 ≥0 ⇔

   

  

x ≤5

2 Å x+ 1

2

ã2 + 3

4 > 0(luôn đúng) ⇔x ≤5

2.

d) Điều kiện xác định của phương trình là: −x2+4x−5 > 0 ⇔−(x2−4x+4)−1 > 0 ⇔−(x−2)2−1 > 0 (vô lý). Vậy không tồn tại giá trịcủa x đểphương trình xác định.

Bài 3. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

a)

√

5x−1+√x+2 = 7−x;

b) √3x+1− √

6−x+3x2 −14x−8 = 0;

c) √x−2+√4−x+ √

2x−5 = 2x2 −5x;

d)

3√

x2 −1+x = √

x3 −2.

Lời giải.

a) Điều kiện xác định của phương trình là:

® 5x−1 ≥0 x+2 ≥0 ⇔

 

 x ≥1

5 x ≥−2 ⇔x ≥1

5.

b) Điều kiện xác định của phương trình là:

® 3x+1 ≥0 6−x ≥0 ⇔

 

 x ≥−1

3 x ≤6 ⇔−1

3 ≤x ≤6.

c) Điều kiện xác định của phương trình là:

  

 

x−2 ≥0 4−x ≥0 2x−5 ≥0 ⇔

   

  

x ≥2 x ≤4

x ≥5

2

⇔5

2 ≤x ≤4.

d) Điều kiện xác định của phương trình là: x3 −2 ≥0 ⇔x ≥ 3√

2.

Bài 4. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

a) (x+1) √

x2 −2x+3 = x2 +1;

b) x(x+1)(x−3)+3 = √4−x+√1+x;

c)

p√

2−1−x+ 4√x = 1

4√

2 …