Một số kỹ thuật giải bất phương trình

1

Số 539 (5-2022)

Ở học kì II năm lớp 10 các em học sinh có học về bất phương trình (BPT). Đây là dạng toán đòi hỏi kỹ năng tính toán phải tốt. Hơn nữa, nếu chúng ta không nắm vững một số kỹ thuật thì khi giải ta sẽ làm cho bài toán phức tạp thêm. Trong bài viết này chúng tôi xin giới thiệu đến các em một chuyên đề nhỏ này về cách giải một số bất phương trình. 1. Kỹ thuật đặt ẩn phụ Bài 1. Giải bất phương trình:

8 ( 4) 2 2(3 4) (1).      x x x x x

Lời giải. Điều kiện: 2.  x



2 2 2 1 ( 4 ) 2 8 (3 4 ) 2       x x x x x x x .

Đặt 2 2 ; 2    a x x b x . Suy ra:

2 2 2 2 2 2 4 3 ; 3 4 3 .       x x a b x x a b

BPT trên trở thành:

2 2 2 2 ( 3 ) 8 (3 )     a b a a b b

 

3 2 8 2 2 2 2           b a b a x x x

2 2 2 2 4 4 2       x x x x x

 

2 2 2 4 2 0      x x x (luôn đúng).

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:

  2;   S .

Bài 2. Giải bất phương trình:

  3 2 2 3 5 2 3 2 1 2 .        x x x x x x

Lời giải. Điều kiện: 1. 2  x

      3 2 1 1 1 2 3 2 1 2         x x x x x

Đặt 1; 1 2     a x b x . Suy ra:

0; 0   a b và 2 2 3 2 .     x x a a

BPT trên trở thành:

     3 2 2 3 2 2 0         a b a a b a a b ab b

    2 0      a a b b a b

   2 0     a b a b (luôn đúng).

Vậy BPT (1) có tập nghiệm là: 1 ; 2        S .

Bài 3. Giải bất phương trình:

 

3 1 1 2 3 1 0 (1).      x x x

Lời giải. Điều kiện: 1.  x

Đặt 1; 2 .    a x b x Suy ra:

0; 2   a b và

2 2 2 1. 2   b a

BPT trên trở thành:

   

2 2 2 3 3 2 1 3 0 3 0 2              

b a a b a a b a

2 2 3 1 2 4 1 3 0 (2).                         

a a a b b b

Đặt . a t b Điều kiện: 0.  t BPT(2) trở thành:

    2 3 2 1 2 4 1 3 0     t t t

  2 (2 1) 52 28 6 1 0

1 2 1 0 . 2

         

  

t t t t

t t

Với 1 2 1 2 4 4 2 2. 2         t x x x x x

Vậy BPT(1) có tập nghiệm là:   2; .   S

Bài 4. Giải bất phương trình:

    2 1 4 2 1 4 16.       x x x x

2

Số 539 (5-2022)

Lời giải. Điều kiện: 4.  x BPT tương đương với:

   2 4 4 4 4 16.         x x x x x

Đặt 8 4 4 0 4 4           t x x x x t

   

2 2

2 2

4 4 4 4 4

64 .

        

 

x x x x x

t t

Do đó BPT trên trở thành:

2 4 2 1 64 8 16 32 48 0 2

             t t t t t t

    2 2 2 2 8 0 2.           t t t

Với 2  t , ta có:

2 4 4 2 16 2 5.           x x x x x

Vậy BPT có tập nghiệm  5 .  S

Bài 5. Giải bất phương trình:

  

3 4 2 3 2 3 2 3 2 3 .        x x x x x

Lời giải. Điều kiện: 3. 2  x

Đặt 6 2 3 2 3 0 2 3 2 3      t x x x x t

   

2 2 8 2 3 2 3 2 3 2 3          x x x x x

2

2 36.   t t

Do đó BPT trên trở thành:

  

2 3 6 4 2

2 4 2

1 36 6 3 108 0 2

6 3 18 0 6.

           

     

t t t t t t

t t t t

Với 6 2 3 2 3 6       t x x

2 4 9 2 3 0 (*).      x x

Do đó BPT(*) luôn đúng 3. 2  x

Vậy BPT có tập nghiệm 3 ; . 2       S

2. Kỹ thuật ẩn phụ không hoàn toàn

Bài 6. Giải bất phương trình:

  

2

2

6 2 1 2 2

2 6 (1).

      

  

x x x x x

x x

Lời giải. Điều kiện: 1  x .

Đặt 2 1     t x x . Điều kiện: 0.  t Suy ra:

2 2 2 1 2 2     t x x x

2 2 2 2 2 1.       x x t x

BPT(1) trở thành:     2 2 6 2 3 5 0       t x t x x

   1 2 5 0       t x t x

1 0   t x (vì 2 5 0 1     t x x ).

Với 1 0 2 1 1        t x x x x

  2 1 1       x x x

   

   

2

3 2

2 1 2 1 1 1

1 2 1 3 0

1 1 2.

        

     

   

x x x x x

x x

x x

Đối chiếu với điều kiện, ta được tập nghiệm của

BPT là:   1;2  S .

Bài 7. Giải bất phương trình:

 

2 2 2 1 1 1 2 4 1 (1).         x x x x x

Lời giải. Điều kiện: 1 1.   x

Đặt 1 1 .     t x x Điều kiện: 0  t

2 2 2 2 2 2 2 1 1 . 2

     …