Đề thi Olympic Toán 11 năm học 2019 - 2020 cụm Sóc Sơn - Mê Linh - Hà Nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI CÁC TRƯỜNG THPT CỤM SÓC SƠN - MÊ LINH

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11

NĂM HỌC 2019-2020

Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 2 2sin sinx 0 x .

Câu 2. (4,0 điểm)

a. Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

b. Tính tổng 1 3 3 5 5 2019 2019 2020 2020 2020 2020 2 3.2 . 5.2 . ... 2019.2 . S C C C C      .

Câu 3. (2,0 điểm) Cho hàm số

2

2

1 , 1 1

2, 1

x x y x x ax x

           

. Tìm a để hàm số liên tục tại 0 1 x 

Câu 4. (2,0 điểm) Cho dãy số   nu thỏa mãn

1

* 1

2021

1 2020 , 2 n n

n

u

u u n u 

              

.

Chứng minh rằng dãy   nu có giới hạn hữu hạn khi n  và tính giới hạn đó.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3 1 x y x

   có đồ thị  C . Cho biết   1;2 I ; 1 : 1 d x ; 2 : 2 d y  . Gọi

d tiếp tuyến bất kỳ của  C ; A,B lần lượt là giao điểm của d với 1d và 2 d . Chứng minh rằng

. IAIB là hằng số.

Câu 6. (2,0 điểm) Cho hàm số  y f x  có đồ thị  C xác định và có đạo hàm trên thỏa

mãn     3 1 2 1 2 21 3 0 f x f x x     . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm có

hoành độ bằng 1.

Câu 7. (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh là a . Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC . Trên đường thẳng d đi qua D và vuông góc với mặt phẳng   ABC tại D lấy điểm S sao cho

6 2 a SD  . Chứng minh rằng     SAD SBC  và     SAB SAC 

Câu 8. (2,0 điểm) Cho hình chóp .S ABC và điểm M tùy ý nằm bên trong tam giác . ABC Ba đường thẳng đi qua , M song song với , , SA SB SCcắt lần lượt các mặt phẳng

    , , SBC SAC SAB tại 1 1 1 , , A B C . Chứng minh rằng

1 1 1

9 SA SB SC MA MB MC    .

------ Hết------

Họ và tên:……………………………………………………..Số báo danh:…………..

1

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI CÁC TRƯỜNG THPT CỤM

SÓC SƠN - MÊ LINH

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11

NĂM HỌC 2019-2020

Môn thi: TOÁN

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm Câu 1

(2,0 điểm)

Giải phương trình sau: 2 2sin sinx 0 x   . Phương trình tương đương:

2

sinx 0 2sin sinx 0 1 sinx 2

x

       

1,0đ

2 , 6 5 2 6

x k

x k k

x k

  

 

            

1,0đ

Câu 2

(4,0 điểm)

a. Từ các số tự nhiên 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. b. Tính tổng 1 3 3 5 5 2019 2019 2020 2020 2020 2020 2 3.2 . 5.2 . ... 2019.2 . S C C C C      .

a. Từ các số tự nhiên 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.

Mỗi số tự nhiên tạo thành là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

1,0đ

Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là 4 6 360 A  số.

1,0đ

b. Tính tổng 1 3 3 5 5 2019 2019 2020 2020 2020 2020 2 3.2 . 5.2 . ... 2019.2 . S C C C C      . Xét khai triển:

 

2020 0 1 2 2 3 3 2019 2019 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 1 ... x C C x C x C x C x C x        

0,5đ

Lấy đạo hàm 2 vế:

 

2019 1 2 3 2 2019 2018 2020 2019 2020 2020 2020 2020 2020 2020 1 2 3 ... 2019 2020 x C C x C x C x C x       

0,5đ

Chọn 2 x  ta có:

 2019 1 2 2 3 2018 2019 2019 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020.3 2.2 3.2 ... 2019.2 2020.2 1 C C C C C       Chọn 2 x  ta có

 1 2 2 3 2018 2019 2019 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2.2 3.2 ... 2019.2 2020.2 2 C C C C C       

0,5đ

Lấy  1 2  ta được

  1 3 3 5 5 2019 2019 2019 2020 2020 2020 2020 2 3.2 . 5.2 . ... 2019.2 . 2020 3 1 S C C C C       

0,5đ

Câu 3

(2,0 điểm)

Cho hàm số

2

2

1 , 1 1

2, 1

x x y x x ax x

           

. Tìm a để hàm số liên tục tại 0 1 x 