Đề thi Olympic 3004 Toán 11 lần 28 năm 2024 trường chuyên Lê Quý Đôn - BR VT

SỞ GD – ĐT TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVIII – NĂM 2024

MÔN THI : TOÁN – KHỐI : 11

Thời gian làm bài : 180 phút

Đề thi gồm có 01 trang Lưu ý : Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ số thứ tự câu ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi.

Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Câu 1 (4,0 điểm). Cho hai đa thức ( ) 4 2 1 P x x x = − − và ( ) 6 4 3 2 4 1. Q x x x x x = + − − −

a) Chứng minh đa thức ( ) P x có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

b) Gọi hai nghiệm thực phân biệt của ( ) P x là u và .v Chứng minh uv là một nghiệm của ( ). Q x

Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số ( ) nx xác định bởi

2

1 1 2 1 1 1; 1 1

n n n

n n

x x x x x x + + + − = = + + +

với mọi n nguyên dương. Chứng

minh dãy số ( ) nx có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 3 (4,0 điểm). Cho số nguyên dương m ( ) 2 . m ≥ Gọi p là ước nguyên tố của 2 2 1.

m + Giả sử .2 1 n p k = +

với k là số nguyên dương lẻ và n là số nguyên dương.

a) Chứng minh 1. n m ≥ +

b) Chứng minh

1 2 1

n k

−− chia hết cho .p Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn ( ) AB AC < nội tiếp đường tròn ( ) O và có H là trực tâm. Gọi M

là trung điểm cạnh . BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC cắt đoạn thẳng AM tại ; K tiếp tuyến của ( ) O tại

A cắt đường thẳng BC ở điểm .S

a) Chứng minh 2 . MK MA MB = và . SA SK = b) Đường thẳng SK cắt hai cạnh , AB AC lần lượt tại , . P Q Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

. APQ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác TPQ tiếp xúc với đường tròn ( ). O

Câu 5 (4,0 điểm). Ban chấp hành Đoàn trường THPT X gồm có n thành viên. Trong năm học, Đoàn trường tổ chức m chương trình, mỗi chương trình có đúng k thành viên trong ban chấp hành tham gia. Mỗi thành viên trong ban chấp hành tham gia ít nhất một chương trình.

a) Cho 8; 3. m k = = Biết rằng với hai chương trình bất kỳ luôn có đúng một thành viên trong ban chấp hành tham gia cả hai chương trình đó. Chứng minh 17. n = b) Cho 25; 10. n k = = Biết rằng với hai chương trình bất kỳ luôn có không quá 3 thành viên trong ban chấp hành cùng tham gia. Chứng minh 6. m ≤

--------------HẾT-------------- Cán bộ coi thi KHÔNG giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: ................................................................. SBD: ............................................. Trường: ............................................................................ Tỉnh/TP: ......................................

SỞ GD – ĐT TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVIII – NĂM 2024

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN – KHỐI : 11 Câu 1 (4,0 điểm). Cho hai đa thức ( ) 4 2 1 P x x x = − − và ( ) 6 4 3 2 4 1. Q x x x x x = + − − −

a) Chứng minh đa thức ( ) P x có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

b) Gọi hai nghiệm thực phân biệt của ( ) P x là u và .v Chứng minh uv là một nghiệm của ( ). Q x

Câu Nội dung Điểm 1a

( ) ( ) 3 3 1 ' 4 2; ' 0 . 2 P x x P x x = − = ⇔ =

1,0

Mà ( ) ( ) lim ; lim x x P x P x →−∞ →+∞ = +∞ = +∞ và ( ) 3 1 0 2 P P x  < ⇒      

có đúng hai nghiệm thực.

1,0

1b

Dễ thấy 0; 0 u v ≠ ≠ và 4 4 2 1; 2 1. u u v v = + = + 0,5

Đặt , uv α = ta có ( ) ( ) 3 3 1 1 1 2 2 2 4 4 1 2 u v u v u v α α α α α +    = + + = + + ⇒ − = + +      

(*) 0,5

Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 2 u v u v u v u v uv u v − = − = − + + +

( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 4 4 u v uv u v u v u v u v α α α α +       ⇒ = + + + + + = + + + = + + +            

2 2 1 u v α α − ⇒ + = +

0,5

Thay vào (*) thu được 4 6 4 3 2 2 4 4 1 4 1 0. 1 α α α α α α α α − = − ⇒ + − − −= +

Vậy uv α = là một nghiệm của đa thức ( ). Q x

0,5

Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số ( ) nx biết rằng

2

1 1 2 1 1 1; 1 1

n n n

n n

x x x x x x + + + − = = + + +

với mọi n nguyên dương. Chứng minh

dãy số ( ) nx có giới hạn và tính giới hạn đó.

Cách 1.

Câu Nội dung Điểm 2

Từ giả thiết ta thấy * 0 nx n > ∀∈ ⇒  tồn tại 0; 2 n π ϕ   ∈   

sao cho …