Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 10 năm 2021 - 2022 sở GDĐT Hà Tĩnh

NHÓM TOÁN VDC

Câu 1 a: Đặt 2 16 4 t x    , ta có phương trình:   2 2 1 4 2 1 0 t x t x    

  

1 ( ) 2 1 2 1 0 2 2 1

t l t t x

t x

         

Với 2 1 t x  , thì: 2

2 2

1 16 2 1 2

16 4 4 1

x x x

x x x

    

     

2

1 1 2

3 3 2 3 4 15 0 5 3

x x x x x x x

            

           

Câu 1b: Đk 0 3; 0 x y    .

Nếu 0 x y   , khi đó: 1 3 3 1 m m     , thỏa mãn.

Nếu , 0 x y  , PT một được viết lại:   2 2 4 3 3 2 2 0 x y x y      

  2 2

2 2

2 2 4 0 2 4 3 3

x y x y

x y x y

        

2 y x  

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

    2 1 3 2 3 1 3 1 3 * x x m x x x x x x m              

Đặt    2 1 3 4 2 1 3 4 2 t x x t x x t          

Mặt khác:  

2 2 4 2 4 1 8 2 2 t x t       . Hay: 2 2 2 t 

Khi đó ta có  

2

2 4 2 2 4 ** 2 t t m m t t        , với 2 2 2 t 

Xét hàm số: 

2 2 4, 2;2 2 f t t t t       

Lập bảng biến thiên, phương trình (**) có nghiệm khi: 4 2 4 2 4 2 2 2 2 m m        .

Câu 2: Đường thẳng qua O vuông góc với phân giác góc B có phương trình tổng quát:

: 2 0 x y    .

Gọi H là giao điểm của  và  d , thì tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:   1;2 H  .

Đường thẳng   cắt AB tại K , khi đó , O K đối xứng nhau qua H , do đó:   2;4 K

+ Gọi điểm   5 2 ; B b b  , do O là trung điểm BC nên   2 5; C b b   .

+   3 2 ; 4 KB b b   

vuông góc với   2 11; 2 IC b b   

, khi đó:

    

2 1 . 0 3 2 2 11 4 2 0 6 5 0 5

b KB IC b b b b b b b

               



+ Với     1 3;1 ; 3; 1 b B C    .

- Đường thẳng AB đi qua , B K nên có phương trình tổng quát:3 10 0 x y    . - Đường thẳng AC đi qua , C I nên có phương trình tổng quát: 3 0 x y   .

+ A là giao điểm của hai đường thẳng , AB AC nên có tọa độ là nghiệm của hệ:   3 10 3;1 3 0

x y A x y

      

loại do trùng với điểm B + Với     5 5;5 ; 5; 5 b B C     .

- Đường thẳng AB đi qua , B K nên có phương trình tổng quát: 7 30 0 x y    . - Đường thẳng AC đi qua , C I nên có phương trình tổng quát: 7 40 0 x y    .

+ A là giao điểm của hai đường thẳng , AB AC nên có tọa độ là nghiệm của hệ: 31 17 ; 5 5 A      

.

Câu 3. Ta có:   2 2 3 3 AI AH AB BH       

.

Mặt khác

2 2 2 2

2 2 . . BA BA c BH BC BA BH BH BC BC BC BC a         

Do đó:      

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 . 3 3 3 3 3 3 c c AI AH AB BH AB BC IB IA IC IB a a                   

  2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 3 3 3

a c c a AI IB IC IA a a a

        

2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 0 3 3 3 a b c IA IB IC a a a           

    2 2 2 2 2 0 a IA b IB c IC        

(đpcm)

Do  0 30 ACB  nên 2 ; 3 BC c CA c   . Khi đó:

2 2 4 2

2 2 2 . 3 3 4 2 AB AC c c AH AH AB AC c     

2 2 3 3 1 3 . ; 3 3 2 3 3 6 c c c AI AH IH AH      

Ngoài ra: 2 3 . 2 2 c c BH BC AB BH CH      . Theo định lí Pitago thì:

2 2 2 2 3 3 4 36 3 c c c IB BH IH      ;

2 2 2 2 9 3 21 4 36 3 c c c IC CH IH     