Phương trình bậc hai một ẩn

Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32m, chiều rộng là 24m, người ta định làm một vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh. Hỏi bề rộng của mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại bằng 560m².

560m²

32m

24m

x

x

x

x

1. Bài toán mở đầu.

Gọi bề rộng của mặt đường là x (m), (0 < 2x < 24). Khi đó phần đất còn lại là hình chữ nhật có: Chiều dài là : 32 – 2x (m), Chiều rộng là : 24 – 2x (m), Diện tích là : (32 – 2x).(24 – 2x) (m²). Theo đầu bài ta có phương trình: (32 – 2x) . (24 – 2x) = 560 hay x² - 28x + 52 = 0

Giải

Được gọi là phương trình bậc hai một ẩn

Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào? Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể làm theo ba bước sau : Bước 1 : Lập phương trình. - Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. Bước 2 : Giải phương trình vừa thu được. Bước 3 : So sánh nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn và trả lời.

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0. Ví dụ :

Ví dụ :

a/ x² + 50x - 15000 = 0 với ẩn x, các hệ số là: a = 1, b = 50, c = -15000

b/ -2y² + 5y = 0 với ẩn y, các hệ số là: a = -2, b = 5, c = 0

c/ 2t² - 8 = 0 với ẩn t, các hệ số là: a = 2, b = 0, c = -8

2. Định nghĩa.

Trong các phương Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình ấy:

a/ x² - 4 = 0 b/ x³ + 4x² - 2 = 0 c/ 2x² + 5x = 0 d/ 4x - 5 = 0 e/ -3x² = 0

?1

có a = 1, b = 0, c = -4

Không phải là phương trình bậc hai

có a = 2, b = 5, c = 0

Không phải là phương trình bậc hai

có a = -3, b = 0, c = 0

Giải phương trình 3x² - 6x = 0 Ví dụ 1

Giải: Ta có 3x² - 6x = 0  3x(x – 2) = 0

 3x = 0 hoặc x – 2 = 0  x = 0 hoặc x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 ; x2 = 2

?2 Giải các phương trình sau:

a/ 4x² - 8x = 0

b/ 2x² + 5x = 0

c/ -7x² + 21x = 0

3. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai.

Giải: Giải:

a/ Ta có 4x² - 8x = 0  4x(x – 2) = 0  4x = 0 hoặc x – 2 = 0  x = 0 hoặc x = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 = 2 b/ Ta có 2x² + 5x = 0  x(2x + 5) = 0  x = 0 hoặc 2x + 5 = 0  x = 0 hoặc x = -2,5 Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 = -2,5 c/ Ta có -7x² + 21x = 0  7x(-x + 3) = 0  7x = 0 hoặc -x + 3 = 0  x = 0 hoặc x = 3 Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 = 3

- Muốn giải phương trình bậc hai khuyết hệ số c, ta phân tích vế trái thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung. Rồi áp dụng cách giải phương trình tích để giải. - Phương trình bậc hai khuyết hệ số c luôn có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm bằng (-b/a) Tổng quát và cách giải phương trình bậc hai khuyết hệ số c

ax² + bx = 0 (a ≠ 0)  x(ax + b) = 0  x = 0 hoặc ax + b = 0  x = 0 hoặc x = -b/a Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 = -b/a

Nhận xét 1.