Giải Hoạt động 5 trang 75 SGK Toán 9

Lời giải

a) Vì $I$ là giao điểm ba đường phân giác của tam giác $ABC$ nên $I$ nằm trên cả ba đường phân giác đó.

*Xét tính chất điểm nằm trên đường phân giác:* mỗi điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc ấy.

- Vì $I$ nằm trên phân giác của góc $A$ nên $I$ cách đều hai cạnh $AB$ và $AC$, tức là $IF = IE$ (với $IF \perp AB$, $IE \perp AC$).
- Vì $I$ nằm trên phân giác của góc $B$ nên $I$ cách đều hai cạnh $BA$ và $BC$, tức là $IF = ID$ (với $IF \perp AB$, $ID \perp BC$).

Từ hai điều trên suy ra:
$$ID = IE = IF.$$

Vậy ba điểm $D$, $E$, $F$ cách đều điểm $I$ một khoảng bằng nhau, nên chúng cùng nằm trên một đường tròn tâm $I$ (bán kính $r = ID = IE = IF$). (đpcm)

b) Gọi $(I)$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $r = ID = IE = IF$ nói trên; nó đi qua $D$, $E$, $F$.

Theo cách dựng, $ID$ là bán kính của $(I)$ và $ID \perp BC$ tại $D$. Mà $D$ là điểm thuộc đường tròn $(I)$. Theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. Do đó cạnh $BC$ tiếp xúc với $(I)$ tại $D$.

Tương tự:
- $IE$ là bán kính và $IE \perp CA$ tại $E \in (I)$ nên cạnh $CA$ tiếp xúc với $(I)$ tại $E$.
- $IF$ là bán kính và $IF \perp AB$ tại $F \in (I)$ nên cạnh $AB$ tiếp xúc với $(I)$ tại $F$.

Vậy đường tròn $(I)$ tiếp xúc với cả ba cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của tam giác $ABC$ (đường tròn $(I)$ chính là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$). (đpcm)

Đáp số