Giải Bài 9.4 trang 72 SGK Toán 9

Lời giải

a) Tính số đo góc $AID$.

Vì $I$ là giao điểm của hai dây $AB$, $CD$ nên $I$ nằm giữa $A$ và $B$, giữa $C$ và $D$. Do đó hai góc $\widehat{AID}$ và $\widehat{BIC}$ là hai góc đối đỉnh, suy ra $\widehat{AID} = \widehat{BIC}$.

Xét đường tròn $(O)$:

- Góc nội tiếp $\widehat{ABC}$ và góc ở tâm $\widehat{AOC}$ cùng chắn cung $AC$ nên:
$$\widehat{ABC} = \frac{1}{2}\,\widehat{AOC} = \frac{1}{2}\cdot 60^\circ = 30^\circ.$$

- Góc nội tiếp $\widehat{BCD}$ và góc ở tâm $\widehat{BOD}$ cùng chắn cung $BD$ nên:
$$\widehat{BCD} = \frac{1}{2}\,\widehat{BOD} = \frac{1}{2}\cdot 80^\circ = 40^\circ.$$

Xét tam giác $IBC$ có $\widehat{IBC} = \widehat{ABC} = 30^\circ$ (vì tia $BI$ trùng tia $BA$) và $\widehat{ICB} = \widehat{DCB} = 40^\circ$ (vì tia $CI$ trùng tia $CD$). Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$ nên:
$$\widehat{BIC} = 180^\circ - \widehat{IBC} - \widehat{ICB} = 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 110^\circ.$$

Vậy $\widehat{AID} = \widehat{BIC} = 110^\circ.$

b) Chứng minh $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

Xét hai tam giác $IAC$ và $IDB$, ta có:

- $\widehat{AIC} = \widehat{DIB}$ (hai góc đối đỉnh);
- $\widehat{IAC} = \widehat{IDB}$, vì $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$ (tia $AI$ trùng tia $AB$, tia $DI$ trùng tia $DC$).

Do đó $\triangle IAC \backsim \triangle IDB$ (g.g).

Suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:
$$\frac{IA}{ID} = \frac{IC}{IB}.$$

Từ đó ta được:
$$IA \cdot IB = IC \cdot ID. \quad \text{(đpcm)}$$

Đáp số