Giải Bài 3.28 trang 65 SGK Toán 9

Lời giải

a) $\dfrac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$

Tách phân thức thứ nhất:
$$\dfrac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} + \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 3.$$

Trục căn thức ở mẫu phân thức thứ hai:
$$\dfrac{1}{\sqrt{5}-2} = \dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \dfrac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2.$$

Do đó:
$$\dfrac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}-2} = (\sqrt{5}+3) - (\sqrt{5}+2) = 1.$$

b) $\sqrt{\left(\sqrt{7}-2\right)^2} - \sqrt{63} + \dfrac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}}$

Vì $\sqrt{7} > \sqrt{4} = 2$ nên $\sqrt{7}-2 > 0$, do đó:
$$\sqrt{\left(\sqrt{7}-2\right)^2} = \left|\sqrt{7}-2\right| = \sqrt{7}-2.$$

Ta có:
$$\sqrt{63} = \sqrt{9\cdot 7} = 3\sqrt{7}; \qquad \dfrac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{56}{2}} = \sqrt{28} = \sqrt{4\cdot 7} = 2\sqrt{7}.$$

Vậy:
$$\left(\sqrt{7}-2\right) - 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = (1-3+2)\sqrt{7} - 2 = 0\cdot\sqrt{7} - 2 = -2.$$

c) $\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2} + \sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}}{2\sqrt{12}}$

Vì $\sqrt{3}+\sqrt{2} > 0$ và $\sqrt{3} > \sqrt{2}$ nên $\sqrt{3}-\sqrt{2} > 0$, do đó:
$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}; \qquad \sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}.$$

Tử số:
$$(\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}.$$

Mẫu số:
$$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4\cdot 3} = 2\cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.$$

Vậy:
$$\dfrac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}.$$

d) $\dfrac{\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}+1\right)^3} - 1}{\sqrt{50}}$

Theo tính chất căn bậc ba: $\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}+1\right)^3} = \sqrt{2}+1.$

Tử số:
$$\left(\sqrt{2}+1\right) - 1 = \sqrt{2}.$$

Mẫu số:
$$\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}.$$

Vậy:
$$\dfrac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{5}.$$

Đáp số