Giải Bài 3.15 trang 54 SGK Toán 9

Lời giải

a) Căn thức $\sqrt{x^2-4x+4}$ xác định với mọi giá trị của $x$.

Biểu thức dưới dấu căn:
$$x^2-4x+4=(x-2)^2.$$
Vì $(x-2)^2\ge 0$ với mọi $x$ nên biểu thức dưới dấu căn luôn không âm. Do đó căn thức $\sqrt{x^2-4x+4}$ xác định với mọi giá trị của $x$ (đpcm).

b) Rút gọn căn thức với $x\ge 2$.

Ta có:
$$\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|.$$
Vì $x\ge 2$ nên $x-2\ge 0$, suy ra $|x-2|=x-2$. Vậy:
$$\sqrt{x^2-4x+4}=x-2 \quad (\text{với } x\ge 2).$$

c) Chứng tỏ với mọi $x\ge 2$, biểu thức $\sqrt{x-\sqrt{x^2-4x+4}}$ có giá trị không đổi.

Với $x\ge 2$, theo câu b) ta có $\sqrt{x^2-4x+4}=x-2$. Thay vào biểu thức:
$$\sqrt{x-\sqrt{x^2-4x+4}}=\sqrt{x-(x-2)}=\sqrt{x-x+2}=\sqrt{2}.$$
Kết quả $\sqrt{2}$ không phụ thuộc vào $x$. Vậy với mọi $x\ge 2$, biểu thức có giá trị không đổi bằng $\sqrt{2}$ (đpcm).

Đáp số