Giải Bài 5.43 trang 63 SGK Toán 12

Lời giải

a) Vị trí tương đối của $d$ và $d'$

Đường thẳng $d$ đi qua $M(0;1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;2)$.

Đường thẳng $d'$ đi qua $N(-1;-2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(2;2;-1)$.

Vì $\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{2}{2}$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không cùng phương, do đó $d$ và $d'$ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ta có $\vec{MN}=(-1;-3;3)$ và
$$[\vec{u},\vec{v}]=\left(\begin{vmatrix}2&2\\2&-1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}\right)=(-6;\,5;\,-2).$$

Xét tích hỗn tạp:
$$[\vec{u},\vec{v}]\cdot\vec{MN}=(-6)(-1)+5\cdot(-3)+(-2)\cdot 3=6-15-6=-15\ne 0.$$

Vậy $d$ và $d'$ chéo nhau.

b) Phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với $d$

Vì $\Delta\parallel d$ nên $\Delta$ nhận $\vec{u}=(1;2;2)$ làm vectơ chỉ phương, lại đi qua $A(1;0;2)$. Do đó:
$$\Delta:\ \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{2}.$$

c) Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $A$ và $d$

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ nên chứa điểm $M(0;1;0)$ và vectơ $\vec{u}=(1;2;2)$; đồng thời đi qua $A(1;0;2)$ với $\vec{MA}=(1;-1;2)$.

Vectơ pháp tuyến của $(P)$:
$$\vec{n}=[\vec{u},\vec{MA}]=\left(\begin{vmatrix}2&2\\-1&2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}2&1\\2&1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1&2\\1&-1\end{vmatrix}\right)=(6;\,0;\,-3)=3(2;0;-1).$$

Chọn $\vec{n}=(2;0;-1)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M(0;1;0)$:
$$2(x-0)+0\cdot(y-1)-1\cdot(z-0)=0\ \Leftrightarrow\ 2x-z=0.$$

Kiểm tra: $A(1;0;2)$ cho $2\cdot1-2=0$ (thỏa mãn). Vậy $(P):\ 2x-z=0$.

d) Giao điểm của $d$ với mặt phẳng $(Oxz)$

Viết $d$ dạng tham số: $x=t,\ y=1+2t,\ z=2t$.

Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y=0$. Thay vào:
$$1+2t=0\ \Rightarrow\ t=-\dfrac{1}{2}.$$

Suy ra $x=-\dfrac{1}{2},\ y=0,\ z=-1$.

Vậy giao điểm là $B\left(-\dfrac{1}{2};0;-1\right)$.

Đáp số