Giải Bài 3 trang 48 SGK Khoa học tự nhiên 9

Lời giải

a) Dựng ảnh của vật AB khi d = 2f

Vẽ thấu kính hội tụ có quang tâm $O$, hai tiêu điểm $F$ và $F'$ với $OF = OF' = f$. Vật $AB$ đặt vuông góc với trục chính, điểm $A$ nằm trên trục chính, cách thấu kính $OA = d = 2f$ (tức $A$ nằm tại điểm cách thấu kính gấp đôi tiêu cự).

Để dựng ảnh $B'$ của điểm $B$, ta dùng hai trong ba tia sáng đặc biệt xuất phát từ $B$:

- Tia 1: Tia tới $BI$ song song với trục chính (I là giao điểm với thấu kính); tia ló đi qua tiêu điểm $F'$ bên kia thấu kính.
- Tia 2: Tia tới $BO$ đi qua quang tâm $O$; tia ló truyền thẳng, không đổi hướng.

Hai tia ló cắt nhau tại $B'$ — đó là ảnh của $B$. Hạ $B'$ vuông góc xuống trục chính được chân ảnh $A'$. Ta thu được ảnh $A'B'$ là ảnh thật, ngược chiều với vật, nằm ở phía bên kia thấu kính, cách thấu kính một khoảng $OA' = d'$.

b) Chứng minh $f = \dfrac{d + d'}{4}$

*Xét hai tam giác đồng dạng theo tia đi qua quang tâm (Tia 2):*

Vì $AB \parallel A'B'$ (cùng vuông góc với trục chính) nên hai tam giác vuông $OAB$ và $OA'B'$ đồng dạng (hai góc đối đỉnh tại $O$). Do đó:
$$\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{d}{d'} \qquad (1)$$

*Xét hai tam giác đồng dạng theo tia song song trục chính (Tia 1):*

Đoạn $OI = AB$ (vì $BI$ song song và bằng khoảng cách từ trục đến $B$). Hai tam giác vuông $F'OI$ và $F'A'B'$ đồng dạng (chung góc tại $F'$), nên:
$$\dfrac{OI}{A'B'} = \dfrac{F'O}{F'A'} \;\Rightarrow\; \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{f}{\,d' - f\,} \qquad (2)$$

*Kết hợp (1) và (2):*
$$\dfrac{d}{d'} = \dfrac{f}{\,d' - f\,}$$

Thay giả thiết $d = 2f$ vào:
$$\dfrac{2f}{d'} = \dfrac{f}{\,d' - f\,} \;\Rightarrow\; 2f\,(d' - f) = f\cdot d'$$

Chia hai vế cho $f$:
$$2(d' - f) = d' \;\Rightarrow\; 2d' - 2f = d' \;\Rightarrow\; d' = 2f$$

Vậy khi vật đặt cách thấu kính $d = 2f$ thì ảnh cũng nằm cách thấu kính $d' = 2f$ (ảnh thật, ngược chiều và lớn bằng vật, vì $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{d'}{d} = 1$).

Khi đó:
$$d + d' = 2f + 2f = 4f \;\Rightarrow\; f = \dfrac{d + d'}{4}$$

(đpcm)

Kiểm tra lại: với $d = d' = 2f$ thì $\dfrac{d+d'}{4} = \dfrac{2f+2f}{4} = \dfrac{4f}{4} = f$ — đúng bằng tiêu cự. Công thức được nghiệm đúng.

Đáp số