Giải Bài 5.18 trang 65 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Đường thẳng $b$ đi qua $M$ và vuông góc với $a$, điểm $A$ nằm trên $b$ với $AM = R$. Ta cần chứng minh đường tròn $(A; R)$ tiếp xúc với $a$ tại $M$.

a) Chứng minh $(A; R)$ tiếp xúc với $a$ tại $M$.

Vì $A$ thuộc $b$ mà $b \perp a$ tại $M$ nên $AM \perp a$. Do đó $AM$ chính là khoảng cách từ tâm $A$ đến đường thẳng $a$:
$$d(A, a) = AM = R.$$

Khoảng cách từ tâm $A$ đến đường thẳng $a$ bằng đúng bán kính $R$, nên theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $(A; R)$, tức là $(A; R)$ tiếp xúc với $a$.

Hơn nữa, chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $a$ chính là điểm $M$, và $M$ thuộc đường tròn (vì $AM = R$). Vậy tiếp điểm là $M$, nghĩa là $(A; R)$ tiếp xúc với $a$ tại $M$ (đpcm).

b) Số đường tròn vẽ được.

Trên đường thẳng $b$, các điểm cách $M$ một khoảng bằng $R$ gồm đúng hai điểm, nằm về hai phía của đường thẳng $a$. Mỗi điểm đó cho một đường tròn tâm bán kính $R$ tiếp xúc với $a$ tại $M$.

Vậy vẽ được 2 đường tròn thỏa mãn yêu cầu.

Đáp số