Giải Bài 5.6 trang 59 SBT Toán 9

Lời giải

a) Bốn điểm $A$, $E$, $H$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.

Vì $BD$ là đường cao nên $BD \perp AC$ tại $D$. Điểm $H$ nằm trên $BD$ nên:
$$\widehat{ADH} = \widehat{ADB} = 90^\circ.$$

Vì $CE$ là đường cao nên $CE \perp AB$ tại $E$. Điểm $H$ nằm trên $CE$ nên:
$$\widehat{AEH} = \widehat{AEC} = 90^\circ.$$

Xét hai điểm $D$ và $E$: cả hai đều nhìn đoạn $AH$ dưới một góc vuông ($\widehat{ADH} = \widehat{AEH} = 90^\circ$). Do đó $D$ và $E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AH$.

Vậy bốn điểm $A$, $E$, $H$, $D$ cùng thuộc một đường tròn (đường tròn đường kính $AH$). (đpcm)

b) $AH > DE$.

Theo câu a), bốn điểm $A$, $E$, $H$, $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$. Trong đường tròn này:

- $AH$ là đường kính;
- $DE$ là một dây cung (nối hai điểm $D$, $E$ trên đường tròn).

Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất, nên $DE \le AH$, dấu bằng chỉ xảy ra khi $DE$ cũng là đường kính.

Ta chứng minh $DE$ không phải là đường kính. Thật vậy, nếu $DE$ là đường kính thì góc nội tiếp $\widehat{DAE}$ chắn đường kính $DE$ phải bằng $90^\circ$. Nhưng $D \in AC$, $E \in AB$ nên:
$$\widehat{DAE} = \widehat{BAC} < 90^\circ$$
(vì tam giác $ABC$ nhọn). Do đó $DE$ không đi qua tâm, tức $DE$ không phải đường kính.

Vậy $DE < AH$, tức $AH > DE$. (đpcm)

Đáp số