Giải Bài 9.23 trang 55 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$, nên:
- $\widehat{ABE}$ chính là $\widehat{ABD}$ (góc giữa $BA$ và $BD$), vậy $\widehat{ABD}=70^\circ$.
- $\widehat{ECB}$ chính là $\widehat{ACB}$ (góc giữa $CA$ và $CB$), vậy $\widehat{ACB}=50^\circ$.

Bước 1. Xét tam giác $ABE$.
Tổng ba góc trong tam giác $ABE$ bằng $180^\circ$:
$$\widehat{BAE}=180^\circ-\widehat{AEB}-\widehat{ABE}=180^\circ-80^\circ-70^\circ=30^\circ.$$
Mà $\widehat{BAE}=\widehat{BAC}$ (vì $E$ nằm trên $AC$), nên $\widehat{BAC}=30^\circ$.

Bước 2. Xét tam giác $BEC$.
Vì $\widehat{BEC}$ kề bù với $\widehat{AEB}$ nên $\widehat{BEC}=180^\circ-80^\circ=100^\circ$. Trong tam giác $BEC$:
$$\widehat{EBC}=180^\circ-\widehat{BEC}-\widehat{ECB}=180^\circ-100^\circ-50^\circ=30^\circ.$$
Mà $\widehat{EBC}=\widehat{DBC}$ (vì $E$ nằm trên $BD$), nên $\widehat{DBC}=30^\circ$.

Bước 3. Dùng các góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Trong đường tròn $(O)$, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau:
- $\widehat{BDC}$ và $\widehat{BAC}$ cùng chắn cung $BC\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=30^\circ$.
- $\widehat{ADB}$ và $\widehat{ACB}$ cùng chắn cung $AB\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=50^\circ$.
- $\widehat{ACD}$ và $\widehat{ABD}$ cùng chắn cung $AD\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{ABD}=70^\circ$.
- $\widehat{CAD}$ và $\widehat{DBC}$ cùng chắn cung $CD\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{DBC}=30^\circ$.

Bước 4. Tính các góc của tứ giác $ABCD$.
$$\widehat{A}=\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$
$$\widehat{B}=\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=70^\circ+30^\circ=100^\circ.$$
$$\widehat{C}=\widehat{BCD}=\widehat{BCA}+\widehat{ACD}=50^\circ+70^\circ=120^\circ.$$
$$\widehat{D}=\widehat{ADC}=\widehat{ADB}+\widehat{BDC}=50^\circ+30^\circ=80^\circ.$$

Kiểm tra lại. Tổng bốn góc: $60^\circ+100^\circ+120^\circ+80^\circ=360^\circ$ (đúng với tổng các góc của tứ giác). Hai góc đối: $\widehat{A}+\widehat{C}=60^\circ+120^\circ=180^\circ$ và $\widehat{B}+\widehat{D}=100^\circ+80^\circ=180^\circ$, đúng tính chất tứ giác nội tiếp. Vậy đáp số phù hợp.

Đáp số