Giải Bài 9.4 trang 51 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích hình. Hai dây cung $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $X$ nằm trong đường tròn, nên trên dây $AB$ có thứ tự ba điểm $A, X, B$ và trên dây $CD$ có ba điểm $C, X, D$. Trong tam giác $XBD$ cho biết $\widehat{XBD}=60^\circ$ (góc tại $B$) và $\widehat{XDB}=70^\circ$ (góc tại $D$).

Vì tia $BX$ trùng tia $BA$ và tia $DX$ trùng tia $DC$ nên:
$$\widehat{XBD}=\widehat{ABD}=60^\circ,\qquad \widehat{XDB}=\widehat{CDB}=70^\circ.$$

a) Góc $\widehat{AXC}$.
Trong tam giác $XBD$:
$$\widehat{BXD}=180^\circ-\widehat{XBD}-\widehat{XDB}=180^\circ-60^\circ-70^\circ=50^\circ.$$
Hai góc $\widehat{AXC}$ và $\widehat{BXD}$ là hai góc đối đỉnh nên:
$$\widehat{AXC}=\widehat{BXD}=50^\circ.$$

b) Góc $\widehat{XAC}$ (tức $\widehat{CAB}$).
Hai góc nội tiếp $\widehat{CAB}$ và $\widehat{CDB}$ cùng chắn cung $BC$ của đường tròn $(O)$ nên bằng nhau:
$$\widehat{XAC}=\widehat{CAB}=\widehat{CDB}=70^\circ.$$

c) Góc $\widehat{XCA}$ (tức $\widehat{ACD}$).
Tổng ba góc trong tam giác $AXC$ bằng $180^\circ$, do đó:
$$\widehat{XCA}=180^\circ-\widehat{AXC}-\widehat{XAC}=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ.$$

Kiểm tra. Hai góc nội tiếp $\widehat{ACD}$ và $\widehat{ABD}$ cùng chắn cung $AD$ nên phải bằng nhau: $\widehat{XCA}=\widehat{ACD}=\widehat{ABD}=60^\circ$ — khớp với kết quả. Tổng ba góc: $50^\circ+70^\circ+60^\circ=180^\circ$ (đúng).

Kết luận: Tam giác $AXC$ có $\widehat{AXC}=50^\circ,\ \widehat{XAC}=70^\circ,\ \widehat{XCA}=60^\circ.$

Đáp số