Giải Bài 3.29 trang 40 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích biểu thức dưới dấu căn trong của vế thứ nhất.

Ta viết $89+24\sqrt{5}$ dưới dạng bình phương. Giả sử $89+24\sqrt{5}=(a+b\sqrt{5})^2=a^2+5b^2+2ab\sqrt{5}$.

Suy ra $2ab=24$ và $a^2+5b^2=89$. Chọn $a=3,\ b=4$ thì $2ab=24$ và $a^2+5b^2=9+80=89$ (thỏa mãn).

Do đó:
$$89+24\sqrt{5}=(3+4\sqrt{5})^2.$$

Vì $3+4\sqrt{5}>0$ nên:
$$\sqrt{89+24\sqrt{5}}=3+4\sqrt{5}.$$

Rút gọn vế thứ nhất.
$$\sqrt{\sqrt{89+24\sqrt{5}}}=\sqrt{3+4\sqrt{5}}.$$

So sánh hai số dương $\sqrt{3+4\sqrt{5}}$ và $\sqrt{1+\sqrt{122}}$.

Cả hai đều không âm, nên chỉ cần so sánh hai biểu thức dưới dấu căn ngoài cùng:
$$3+4\sqrt{5}\quad\text{và}\quad 1+\sqrt{122}.$$

Trừ cả hai vế cho $1$, ta so sánh:
$$2+4\sqrt{5}\quad\text{và}\quad \sqrt{122}.$$

Hai số này đều dương, bình phương lên để so sánh:
$$\left(2+4\sqrt{5}\right)^2=4+16\sqrt{5}+80=84+16\sqrt{5},$$
$$\left(\sqrt{122}\right)^2=122.$$

So sánh $84+16\sqrt{5}$ với $122$, tức so sánh $16\sqrt{5}$ với $38$.

Bình phương: $\left(16\sqrt{5}\right)^2=256\cdot 5=1280$ và $38^2=1444$.

Vì $1280<1444$ nên $16\sqrt{5}<38$, do đó:
$$84+16\sqrt{5}<122\ \Rightarrow\ 2+4\sqrt{5}<\sqrt{122}\ \Rightarrow\ 3+4\sqrt{5}<1+\sqrt{122}.$$

Lấy căn bậc hai hai vế (hàm căn đồng biến):
$$\sqrt{3+4\sqrt{5}}<\sqrt{1+\sqrt{122}}.$$

Kết luận.
$$\sqrt{\sqrt{89+24\sqrt{5}}}<\sqrt{1+\sqrt{122}}.$$

Kiểm tra lại bằng số gần đúng: $3+4\sqrt{5}\approx 3+8{,}944=11{,}944$ và $1+\sqrt{122}\approx 1+11{,}045=12{,}045$. Vì $11{,}944<12{,}045$ nên kết quả so sánh ở trên là đúng.

Đáp số